四川省成都市2020届蓉城名校联盟高三理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2020-04-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 1 ， 3 ， 4}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 4 x + 3 > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 4}$ B、 ${- 1 ， 1 ， 4}$ C、 ${- 1 ， 3 ， 4}$ D、 $(- \infty ， 1) \cup (3 ， + \infty)$

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2. 已知复数 $z = \frac{4 i}{1 + \sqrt{3} i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $3$

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3. 已知实数 $0 < a < b$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ B、 $a c^{2} < b c^{2}$ C、 $l n a < l n b$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}$

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4. 已知命题 $p : x < 2 m + 1, q : x^{2} - 5 x + 6 < 0$ ，且 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m > \frac{1}{2}$ B、 $m \geq \frac{1}{2}$ C、 $m > 1$ D、 $m \geq 1$

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5. 若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且满足 $3 + a_{5} ＝ a_{3} + a_{8}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{11} ＝$ （）

A、 $27$ B、 $33$ C、 $39$ D、 $44$

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6. 已知 $α, β$ 是空间中两个不同的平面， $m, n$ 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A、若 $m \subset α, n \subset β$ ，且 $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m \subset α, n \subset α$ ，且 $m / / β, n / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m ⊥ α, n / / β$ ，且 $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ⊥ α, n / / β$ ，且 $α / / β$ ，则 $m ⊥ n$

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7. 已知抛物线 $y^{2} ＝ 20 x$ 的焦点与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为 $\frac{9}{2}$ ，那么该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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8. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， $P$ 是 $B N$ 上的一点，若 $m \vec{A C} = \vec{A P} - \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $1$ D、 $2$

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9. 已知实数 $a > 0, b > 1$ 满足 $a + b ＝ 5$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b - 1}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 + 4 \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{3 + 4 \sqrt{2}}{6}$

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10. 已知集合 $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 的所有三个元素的子集记为 $B_{1}, B_{2}, B_{3} \dots, B_{n}, n \in N *$ ．记 $b_{i}$ 为集合 $B_{i}$ 中的最大元素，则 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} =$ （　　）

A、 $45$ B、 $105$ C、 $150$ D、 $210$

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11. 关于圆周率π ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 $π$ 的值：先请全校 $m$ 名同学每人随机写下一个都小于 $1$ 的正实数对 $(x, y)$ ；再统计两数能与 $1$ 构成钝角三角形三边的数对 $(x, y)$ 的个数 $a$ ；最后再根据统计数 $a$ 估计 $π$ 的值，那么可以估计 $π$ 的值约为（）

A、 $\frac{4 a}{m}$ B、 $\frac{a + 2}{m}$ C、 $\frac{a + 2 m}{m}$ D、 $\frac{4 a + 2 m}{m}$

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12. 已知 $\vec{a} = (2 \sin \frac{ω x}{2}, \cos \frac{ω x}{2}), \vec{b} = (\sqrt{3} \cos \frac{ω x}{2}, 2 \cos \frac{ω x}{2})$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ 在区间 $[0, \frac{4 π}{3}]$ 上恰有 $3$ 个极值点，则正实数 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{8}{5}, \frac{5}{2})$ B、 $[\frac{7}{4}, \frac{5}{2})$ C、 $[\frac{5}{3}, \frac{7}{4})$ D、 $(\frac{7}{4}, 2]$

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二、填空题

13. 实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x - y + 2 \geq 0 \\ x - y + 1 \leq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为．

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14. 成都市某次高三统考，成绩X经统计分析，近似服从正态分布 $X ～ N (100, σ^{2})$ ，且 $P (86 < X \leq 100) = 0.15$ ，若该市有 8000 人参考，则估计成都市该次统考中成绩 X 大于 114 分的人数为．

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15. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + x + a ， x \in [\frac{1}{e} ， e]$ 与 $g (x) = 3 l n x - x - 1$ 的图象上存在关于 $x$ 轴对称的点，则 $a$ 的取值范围为．

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16. 在四面体 $A B C D$ 中， $A B = C D = \sqrt{41} ， A C = B D = \sqrt{34} ， A D = B C = 5 ， E ， F$ 分别是 $A D ， B C$ 的中点．则下述结论：
①四面体 $A B C D$ 的体积为 $20$ ；

②异面直线 $A C ， B D$ 所成角的正弦值为 $\frac{24}{25}$ ；

③四面体 $A B C D$ 外接球的表面积为 $50 π$ ；

④若用一个与直线 $E F$ 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面 $α$ 去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为 $6$ ．

其中正确的有．（填写所有正确结论的编号）

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三、解答题

17. 某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了 $9$ 个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过 $40$ （分钟），则称这个工人为优秀员工．

(1)、求这个样本数据的中位数和众数；

(2)、以这 $9$ 个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查 $4$ 名工人，求被调查的 $4$ 名工人中优秀员工的数量 $x$ 分布列和数学期望．

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $4$ 的菱形， $P A ＝ P C ＝ 5$ ，点 $M ， N$ 分别是 $A B ， P C$ 的中点．

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $c o s ∠ P C D = \frac{4}{5} ， ∠ D A B ＝ 60^{°}$ ，求直线 $A N$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足对任意 $n \in N *$ 都有 $2 a_{n}_{+ 1} ＝ a_{n} + a_{n}_{+ 2}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{7} ＝ 49 ， a_{3}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{13}$ 的等比中项， $a_{1} < a_{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、已知数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{a_{n} + 1}$ ， $c_{n} ＝ a_{n} b_{n}$ ，设数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $\frac{9 T_{n} - 20}{6 n - 5}$ 大于 $1000$ 的最小的正整数 $n$ 的值．

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20. 已知点 $P (1 ， \frac{3}{2}) ， \vec{a} = (x - 1 ， y) ， \vec{b} = (x + 1 ， y)$ ，且 $| \vec{a} | + | \vec{b} | = 4$ ，满足条件的 $Q (x ， y)$ 点的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、是否存在过点 $(0 ， - 1)$ 的直线 $l$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，直线 $P A ， P B$ 与 $y$ 轴分别交于 $M ， N$ 两点，使得 $| P M | ＝ | P N |$ ？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - a x + 1 - a (a \in R) ．$

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 对任意 $x > - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求证： $- \ln (x + 1) + x e^{x - 1} - x + 1 \geq 0$

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos α \\ y = 2 + 2 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 c o s θ$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程和曲线 $C_{2}$ 的普通方程；

(2)、设射线 $O P : θ = \frac{π}{6}$ 与曲线 $C_{1}$ 交于不同于极点的点 $A$ ，与曲线 $C_{2}$ 交于不同于极点的点 $B$ ，求线段 $A B$ 的长．

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23. 设函数 $f (x) = | x + a | + | x - 1 | (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 4$ 的解集；

(2)、若对任意 $x \in R$ 都有 $f (x) \geq 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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