陕西省咸阳市2020届高三下学期理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-04-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $M = {x | y = \sqrt{1 - x}}$ ， $N = {- 1, 0, 1, 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${1, - 1}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = (1 + i) (2 + i)$ ，则其共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $1 - 3 i$ C、 $- 1 + 3 i$ D、 $- 1 - 3 i$

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3. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）

A、这五年，出口总额之和比进口总额之和大 B、这五年，2015年出口额最少 C、这五年，2019年进口增速最快 D、这五年，出口增速前四年逐年下降

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4. 已知数列 $a_{1}$ ， $\frac{a_{2}}{a_{1}}$ ， $\frac{a_{3}}{a_{2}}$ ，…， $\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}$ 是首项为8，公比为 $\frac{1}{2}$ 得等比数列，则 $a_{3}$ 等于（）

A、64 B、32 C、2 D、4

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5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，已知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{16}{5}$ B、 $\frac{32}{5}$ C、10 D、 $\frac{18}{5}$

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6. 已知 $a$ ， $b$ 为两条不同直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 为三个不同平面，下列命题：①若 $α // β$ ， $α // γ$ ，则 $β // γ$ ；②若 $a // α$ ， $a // β$ ，则 $α // β$ ；③若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ β$ ；④若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a // b$ .其中正确命题序号为（）

A、②③ B、②③④ C、①④ D、①②③

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7. 双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一个焦点为 $F (c, 0)$ （ $c > 0$ ），且双曲线 $C_{1}$ 的两条渐近线与圆 $C_{2}$ ： ${(x - c)}^{2} + y^{2} = \frac{c^{2}}{4}$ 均相切，则双曲线 $C_{1}$ 的渐近线方程为（）

A、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ B、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ C、 $\sqrt{5} x \pm y = 0$ D、 $x \pm \sqrt{5} y = 0$

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8. 函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{| e^{x} - 1 |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 $A B$ 是过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 焦点 $F$ 的弦， $O$ 是原点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} =$ （）

A、－2 B、－4 C、3 D、－3

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10. 正四棱锥 $P - A B C D$ 的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为 $\sqrt{6}$ ，侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，则它的外接球的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $8 π$ C、 $16 π$ D、 $20 π$

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11. 关于函数 $f (x) = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^{2} x} + \cos 2 x$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ B、函数 $f (x)$ 一个递增区间为 $[- \frac{3 π}{8} ， \frac{π}{8}]$ C、函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称 D、将函数 $y = \sqrt{2} \sin 2 x$ 图像向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位可得函数 $y = f (x)$ 的图像

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} + b$ 的一条切线为 $y = a (x + 1)$ ，则 $a b$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{2 e}$ B、 $- \frac{1}{4 e}$ C、 $- \frac{1}{e}$ D、 $- \frac{2}{e}$

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二、填空题

13. 若向量 $- 2 - i$ 与向量 $\vec{b} = (2, 1)$ 垂直，则 $x =$ .

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14. $(1 - x) {(1 + x)}^{4}$ 展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数为.

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15. 为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量 $y (m g / m^{3})$ 与时间 $t (h)$ 的函数关系为 $y = {\begin{matrix} k t ， & 0 < t < \frac{1}{2} \\ \frac{1}{k t} ， & t \geq \frac{1}{2} \end{matrix}$ （如图所示），实验表明，当药物释放量 $y < 0.75 (m g / m^{3})$ 对人体无害. （1） $k =$ ；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.

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16. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\sqrt{3} \sin A - \cos A = 1$ ， $a = 2$ ，则 $Δ A B C$ 的面积的最大值为.

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三、解答题

17. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{7} = 18$ ， $S_{6} = 36$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ；

（Ⅱ）设 $T_{n}$ 为数列 ${\frac{1}{S_{n} + n}}$ 的前 $n$ 项的和，求证： $T_{n} < 1$ .

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18. 为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.

（Ⅰ）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？

	男	女	总计
合格
不合格
总计

（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.

附：

$P (k^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ $n = a + b + c + d$

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19. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B // D C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2 D C = 2 B C$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，沿 $D E$ 将 $Δ A D E$ 折起，使得点 $A$ 到点 $P$ 位置，且 $P E ⊥ E B$ ， $M$ 为 $P B$ 的中点， $N$ 是 $B C$ 上的动点（与点 $B$ ， $C$ 不重合）.

（Ⅰ）证明：平面 $E M N ⊥$ 平面 $P B C$ 垂直；

（Ⅱ）是否存在点 $N$ ，使得二面角 $B - E N - M$ 的余弦值 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ？若存在，确定 $N$ 点位置；若不存在，说明理由.

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20. 椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，它的四个顶点构成的四边形面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $P$ 是直线 $x = a^{2}$ 上任意一点，过点 $P$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的两条切线，切点分别为 $M$ ， $N$ ，求证：直线 $M N$ 恒过一个定点.

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21. 已知函数 $f (x) = a x e^{x}$ （ $a \in R$ ， $a \neq 0$ ）， $g (x) = x + \ln x + 1$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）若对任意的 $x > 0$ ， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程是 $ρ \cos^{2} θ - 4 \sin θ = 0$ ，直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 的极坐标方程分别是 $θ = α$ （ $ρ \in R$ ）和 $θ = α + \frac{π}{2}$ （ $ρ \in R$ ），其中 $α \neq k π$ （ $k \in z$ ）.

(1)、写出曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 分别与曲线 $C$ 交于除极点 $O$ 的另外点 $A$ ， $B$ ，求 $Δ O A B$ 的面积最小值.

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23. 已知关于 $x$ 的不等式 $| x + m | - 2 x \leq 0$ 解集为 $[1, + \infty)$ （ $m > 0$ ）.

(1)、求正数 $m$ 的值；

(2)、设 $a, b, c \in R^{+}$ ，且 $a + b + c = m$ ，求证： $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq 1$ .

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