陕西省宝鸡市2020届高考理数模拟检测试卷(二)

试卷更新日期：2020-04-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $z_{1}$ 在复平面内对应的点为 $(2, 3), z_{2} = - 2 + i,$ 则 $\frac{z_{1}}{z_{2}} =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} + \frac{8}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} - \frac{8}{5} i$ C、 $- 1 + \frac{8}{5} i$ D、 $- 1 - \frac{8}{5} i$

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2. 设全集U=R ，集合 A={x|x²-3x-4>0} ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、{x|-1 <x<4} B、{x|-4<x<1} C、{x|-1≤x≤4} D、{x|-4≤x≤1}

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3. 总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

A、23 B、21 C、35 D、32

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4. 已知α ， β是两平面，l ， m ， n是三条不同的直线，则不正确命题是（）

A、若m⊥α ， n//α ，则m⊥n B、若m//α ， n//α ，则m//n C、若l⊥α ， l//β ，则α⊥β D、若α//β ， l $⊄$ β ，且l//α ，则l//β

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5. 函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象为C ，以下结论中正确的是（）
①图象C关于直线 $x = \frac{5}{12} π$ 对称；②图象C关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称；③由y =2sin2x的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度可以得到图象C.

A、① B、①② C、②③ D、①②③

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6. 设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（）

A、 $f (\log_{3} 0.3) > f (2^{- 0.3}) > f (2^{- 0.4})$ B、 $f (\log_{3} 0.3) > f (2^{- 0.4}) > f (2^{- 0.3})$ C、 $f (2^{- 0.3}) > f (2^{- 0.4}) > f (\log_{3} 0.3)$ D、 $f (2^{- 0.4}) > f (2^{- 0.3}) > f (\log_{3} 0.3)$

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7. 执行如下的程序框图，则输出的 $S$ 是（）

A、 $36$ B、 $45$ C、 $- 36$ D、 $- 45$

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8. 已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（）

A、 $\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{15} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{21} - \frac{x^{2}}{7} = 1$

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9. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第 $1$ 天长高 $3$ 尺，芜草第 $1$ 天长高 $1$ 尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的 $2$ 倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）
（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据： $\lg 3 \approx 0.4771$ ， $\lg 2 \approx 0.3010$ ）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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10. 《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（）

A、4π B、8π C、 $6 + 4 \sqrt{2}$ D、 $\frac{8}{3} π$

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11. 已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C $： y^{2} = 4 x$ 相交于A ， B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知函数 $f (x) = (x - a - 1) e^{x}$ ，若 $2^{a} = \log_{2} b = c ，$ 则（）

A、f(a)<f(b) <f(c) B、f(b) <f(c) <f(a) C、f(a) <f(c) <f(b) D、f(c) <f(b) <f(a)

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二、填空题

13. 若 ${(\frac{5}{x} - 3 \sqrt{x})}^{n}$ 的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为

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14. 函数 $y = \log_{0.5} (x^{2} - a x + 5)$ 在区间(-∞，1)上递增，则实数a的取值范围是

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15. 点P是△ABC所在平面内一点且 $\vec{P B} + \vec{P C} = \vec{A P} ，$ 在△ABC内任取一点，则此点取自△PBC内的概率是

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16. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = 2^{n} - 1 (n \in N^{*})$ ，则， $a_{n} =$ .若存在n∈N^*使得 $a_{n} \leq \frac{n + 1}{n} \cdot λ$ 成立，则实数λ的最小值为

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 1, x \in R .$

(1)、求f(x)的单调递增区间；

(2)、△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c ，若 $f (\frac{A}{2}) = 1$ 且A为锐角，a=3，sinC=2sinB ，求△ABC的面积.

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18. 某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表：

x

1

2

3

4

5

y

17.0

16.5

15.5

13.8

12.2

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \cdot \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、求y关于x的线性回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、若每吨该产品的成本为12千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润w取到最大值？

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19. 在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB//CD ， AB =2BC ，点Q为AE的中点.

(1)、求证：AC//平面DQF；

(2)、若∠ABC=60°，AC⊥FB ，求BC与平面DQF所成角的正弦值.

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20. 已知椭圆C $: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < a)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2} .$ 且经过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点(0，2)的直线l与椭圆C交于不同两点A、B ，以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M在椭圆C上，求直线l的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{1}{2 x} - a x^{2} + x (a \geq 0)$ .

(1)、讨论函数f(x)的极值点的个数；

(2)、若f(x)有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} ，$ 证明 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{x_{1} + x_{2}} > \frac{3}{4} - \ln 2$ .

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22. 在直角坐标系x0y中，把曲线 $C_{1} ：$ ${\begin{array}{l} x = 2 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{array} ($ α为参数)上每个点的横坐标变为原来的 $\sqrt{3}$ 倍，纵坐标不变，得到曲线 $C_{2} .$ 以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程 $ρ \sin (θ - \frac{π}{4}) = 4 \sqrt{2} .$

(1)、写出 $C_{2}$ 的普通方程和 $C_{3}$ 的直角坐标方程；

(2)、设点M在 $C_{2}$ 上，点N在 $C_{3}$ 上，求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.

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23. 已知f(x)=|x +3|-|x-2|

(1)、求函数f(x)的最大值m；

(2)、正数a ， b ， c满足a +2b +3c=m ，求证： $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \geq \frac{36}{5} .$

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x	1	2	3	4	5
y	17.0	16.5	15.5	13.8	12.2