山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试卷（五)

试卷更新日期：2020-04-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ， $B = {x | - 2 < x \leq 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 1 ⩽ x ⩽ 2}$ B、 ${x | - 2 < x ⩽ 2}$ C、 ${x | - 2 < x ⩽ 1}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$

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2. $i$ 是虚数单位， $z = \frac{2 i}{1 - i}$ 则 $| z | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（）

A、 $\frac{1}{2 π}$ B、 $\frac{3}{π}$ C、 $\frac{2}{π}$ D、 $\frac{1}{π}$

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4. 函数 $f (x) = a x + \frac{1}{x}$ 在 $(2, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{4}, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{4}]$

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5. 已知 $a = 5^{\frac{1}{5}}, b = \log_{4} \sqrt{5}, c = \log_{5} 2$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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6. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{5}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上有且仅有5个零点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{12}{5}, \frac{29}{10})$ B、 $(\frac{12}{5}, \frac{29}{10}]$ C、 $(\frac{12}{5}, \frac{29}{10})$ D、 $[\frac{12}{5}, \frac{29}{10}]$

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7. 已知曲线 $x^{2} = 4 y$ ，动点 $P$ 在直线 $y = - 3$ 上，过点 $P$ 作曲线的两条切线 $l_{1}, l_{2}$ ，切点分别为 $A, B$ ，则直线 $A B$ 截圆 $x^{2} + y^{2} - 6 y + 5 = 0$ 所得弦长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 对于函数 $f (x)$ ，若 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = f (x_{1} + x_{2})$ ，则称 $x_{1}, x_{2}$ 为函数 $f (x)$ 的一对“线性对称点”．若实数 $a$ 与 $b$ 和 $a + b$ 与 $c$ 为函数 $f (x) = 3^{x}$ 的两对“线性对称点”，则 $c$ 的最大值为（）

A、 $\log_{3} 4$ B、 $\log_{3} 4 + 1$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\log_{3} 4 - 1$

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二、多选题

9. 下列命题中是真命题的是（）

A、“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} > 1$ ”的充分不必要条件 B、命题“ $\forall x > 0$ ，都有 $\sin x \leq 1$ ”的否定是“ $\exists x_{0} > 0$ ，使得 $\sin x_{0} > 1$ ” C、数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{8}$ 的平均数为6，则数据 $2 x_{1} - 5, 2 x_{2} - 5, \dots, 2 x_{8} - 5$ 的平均数是6 D、当 $a = - 3$ 时，方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 y + 1 = 0 \\ a^{2} x - 6 y = a \end{array}$ 有无穷多解

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10. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 3) = - f (x)$ ，当 $x \in [0, 3]$ 时， $f (x) = x^{2} - 3 x$ ，下列等式成立的是（）

A、 $f (2019) + f (2020) = f (2021)$ B、 $f (2019) + f (2021) = f (2020)$ C、 $2 f (2019) + f (2020) = f (2021)$ D、 $f (2019) = f (2020) + f (2021)$

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，如图， $M ， N$ 分别是正方形 $A B C D$ ， $B C C_{1} B_{1}$ 的中心.则下列结论正确的是（）

A、平面 $D_{1} M N$ 与 $B_{1} C_{1}$ 的交点是 $B_{1} C_{1}$ 的中点 B、平面 $D_{1} M N$ 与 $B C$ 的交点是 $B C$ 的三点分点 C、平面 $D_{1} M N$ 与 $A D$ 的交点是 $A D$ 的三等分点 D、平面 $D_{1} M N$ 将正方体分成两部分的体积比为1∶1

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12. 设 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过左焦点 $F_{1}$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{15}}{7}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 在第一象限相交于一点 $P$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 倾斜角的余弦值为 $\frac{7}{8}$ B、若 $| F_{1} P | = | F_{1} F_{2} |$ ，则 $C$ 的离心率 $e = \frac{4}{3}$ C、若 $| P F_{2} | = | F_{1} F_{2} |$ ，则 $C$ 的离心率 $e = 2$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 不可能是等边三角形

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三、填空题

13. ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项是.

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14. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $\vec{a} = (\sqrt{3}, - 1)$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = x \ln x - 2 a$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线经过原点，函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ 的最小值为 $m$ ，则 $m + 2 a =$ .

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16. 如图，直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，垂足为 $O$ ，三棱锥 $A - B C D$ 的底面边长和侧棱长都为4， $C$ 在平面 $α$ 内， $B$ 是直线 $l$ 上的动点，则点 $B$ 到平面 $A C D$ 的距离为，点 $O$ 到直线 $A D$ 的距离的最大值为.

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四、解答题

17. 已知各项均不相等的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $4$ 项和为 $S_{4} = 14$ , 且 $a_{1}, a_{3}, a_{7}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式;

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $c = 4 \sqrt{2}$ ， $\sin \frac{C}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $\sin A$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积 $S$ 的最大值.

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19. 新高考，取消文理科，实行“

3 + 3

”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在

[15, 45)

称为中青年，年龄在

[45, 75)

称为中老年），并把调查结果制成下表：

年龄（岁）	$[15, 25)$	$[25, 35)$	$[35, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 65)$	$[65, 75)$
频数	5	15	10	10	5	5
了解	4	12	6	5	2	1

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

(1)、分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；

(2)、请根据上表完成下面

2 \times 2

列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？

	了解新高考	不了解新高考	总计
中青年
中老年
总计

(3)、若从年龄在

[55, 65)

的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为

X

，求

X

的分布列以及

E (X)

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为正方形，点 $F$ 为线段 $P C$ 上的点，过 $A ， D ， F$ 三点的平面与 $P B$ 交于点 $E$ .将① $A B = A P$ ，② $B E = P E$ ，③ $P B ⊥ F D$ 中的两个补充到已知条件中，解答下列问题：

(1)、求平面 $A D F E$ 将四棱锥分成两部分的体积比；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $A D F E$ 所成角的正弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} m (x^{2} - 1) - \ln x (m \in R)$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求证： $f (x) \geq 0$ .

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的极值；

(3)、是否存在实数 $m$ ，使得不等式 $f (x) > \frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x - 1}}$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立？若存在，求出 $m$ 的最小值；若不存在，请说明理由.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，其右焦点为 $F$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过 $F$ 作夹角为 $\frac{π}{4}$ 的两条直线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别交椭圆 $C$ 于 $P ， Q$ 和 $M ， N$ ，求 $\frac{| P Q |}{| M N |}$ 的取值范围.

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