江西省南昌市2020届理数第一次模拟测试试卷

试卷更新日期：2020-04-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集为实数集R ，集合A={x|x²+2x-8>0}，B={x|log₂x<1}，则 $(∁_{R} A) \cap B$ 等于（）

A、[ $-$ 4，2] B、[ $-$ 4，2) C、( $-$ 4，2) D、(0，2)

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2. 在复平面内，复数z=i对应的点为Z ，将向量 $\vec{O Z}$ 绕原点O按逆时针方向旋转 $\frac{π}{6}$ ，所得向量对应的复数是（）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$

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3. 一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）

A、16 B、12 C、8 D、6

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4. 由实数组成的等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，则“a₁>0”是“S₉>S₈”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{b}$ =(1， $\sqrt{3}$ )，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $\frac{1}{2}$ ，则 $\vec{a}$ ▪ $\vec{b}$ 等于（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、0

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6. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln (x - \frac{1}{x}) ， x > 1 ， \\ e^{\cos π x} ， x \leq 1 \end{array}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ， y进行回归分析，设u= lny ， v=(x-4)² ，利用最小二乘法，得到线性回归方程为 $\hat{u}$ = $-$ 0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（）

A、e B、e² C、ln2 D、2ln2

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8. 已知抛物线y²= 4x的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ⊥y轴交y轴于点Q ，则 $\vec{P Q} \cdot \vec{P F}$ 的最小值为（）

A、 $-$ $\frac{1}{4}$ B、 $-$ $\frac{1}{2}$ C、 $-$ l D、1

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9. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O作斜率为 $\frac{4}{3}$ 的直线交C的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$ +1

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10. 台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ， F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E ， F处的目标球，最后停在点C处，若AE=50cm ． EF=40cm ． FC=30cm ， ∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（）

A、50 $\sqrt{2}$ cm B、40 $\sqrt{2}$ cm C、50cm D、20 $\sqrt{6}$ cm

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11. 如图，点E是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中点，点F ， M分别在线段AC ， BD₁（不包含端点）上运动，则（）

A、在点F的运动过程中，存在EF//BC₁ B、在点M的运动过程中，不存在B₁M⊥AE C、四面体EMAC的体积为定值 D、四面体FA₁C₁B的体积不为定值

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + ϕ) (ω > 0 ， 0 < ϕ < \frac{π}{3})$ 满足 $f (x + π) = f (x) ， f (\frac{π}{12})$ =1，则 $f (- \frac{π}{12})$ 等于（）

A、- $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、- $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 曲线f(x)=(x²+x)lnx在点(1，f(1))处的切线方程为.

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14. 已知(2x-1)⁷=a_o+a₁x+ a₂x²+…+a₇x⁷ ，则a₂=.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 - 2^{x}, x \geq 0, \\ 2^{- x}, x < 0, \end{array}$ ，则 $f (\lg \frac{1}{5}) + f (\lg \frac{1}{2}) + f (\lg 2) + f (\lg 5)$ 的值为

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16. 两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同．如图所示，一列圆 $C_{n} ： x^{2} + {(y - a_{n})}^{2} = r_{n}^{2}$ (a_n>0，r_n>0，n=1，2…)逐个外切，且均与曲线y=x²相切，若r₁=1，则a₁= ， r_n=

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三、解答题

17. 如图，D是在△ABC边AC上的一点，△BCD面积是△ABD面积的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ ．

（Ⅰ）若θ= $\frac{π}{6}$ ，求 $\frac{\sin A}{\sin C}$ 的值；

（Ⅱ）若BC=4，AB=2 $\sqrt{2}$ ，求边AC的长．

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18. 如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BCC₁B₁是菱形，AC=BC=2，∠CBB₁= $\frac{π}{3}$ ，点A在平面BCC₁B₁上的投影为棱BB₁的中点E ．

(1)、求证：四边形ACC₁A₁为矩形；

(2)、求二面角E-B₁C-A₁的平面角的余弦值．

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19. 已知函数f(x)=e^x-x²-kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点．

(1)、求实数k的取值范围；

(2)、证明：f(x)的极大值不小于1．

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20. 已知圆F₁：(x+1)² +y²= r²(1≤r≤3)，圆F₂：(x-1)²+y²= (4-r)² ．

(1)、证明：圆F₁与圆F₂有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；

(2)、已知点Q(m ， 0)(m<0)，过点E斜率为k(k≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹E相交于M ， N两点，记直线QM的斜率为k₁ ，直线QN的斜率为k₂ ，是否存在实数m使得k(k₁+k₂)为定值？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

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21. （某工厂生产零件A ，工人甲生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为 $\frac{1}{4} ， \frac{1}{2} ， \frac{1}{4}$ ，工人乙生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为 $\frac{1}{3} ， \frac{1}{3} ， \frac{1}{3}$ ．已知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.

(1)、试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；

(2)、为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A ，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．P_i₊₄（i= $-$ 4， $-$ 3， $-$ 2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率．
①写出P₀ ， P₈的值；

②求决赛甲获胜的概率．

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22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线C₁的普通方程为(x-1)² +y² =1，曲线C₂的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} \cos θ . \\ y = \sqrt{2} \sin θ \end{array}$ （θ为参数）.
（Ⅰ）求曲线C₁和C₂的极坐标方程：

（Ⅱ）设射线θ= $\frac{π}{6}$ (ρ>0)分别与曲线C₁和C₂相交于A ， B两点，求|AB|的值．

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23. 已知a>0，b>0，a+b=2.
（Ⅰ）求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值；

（Ⅱ）证明： $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq \frac{2}{a b} .$

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