江苏省苏州市吴中区2020届高三高考数学模拟试卷

试卷更新日期：2020-04-27 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知 $x, y \in R$ ， $i$ 为虚数单位，且 $(x - 2) i - y = - 1 + i$ ，则 $x + y$ =.

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2. 已知集合 $A = {1, 2, 4}$ ， $B = {x | 0 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ ．

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3. 如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为．

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4. 执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是.

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5. 甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为.

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6. 函数 $f (x) = \sqrt{\lg \frac{2}{x} - 1}$ 的定义域为.

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的右准线与渐近线的交点在抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上，则实数 $p$ 的值为.

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8. 已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为 $60 °$ ，侧面积为 $4 \sqrt{7}$ ，则该棱锥的体积为．

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9. 公比为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 2$ ， $S_{4} - 5 S_{2} = 0$ ，则 $S_{6} - S_{3}$ 的值为．

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，圆 $C^{'} ： {(x + 2 \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 6$ ．直线 $l ： y = k x + 3$ 与圆 $C$ 相切，且与圆 $C^{'}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则弦 $A B$ 的长为

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11. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图像，则函数 $y = f (x) - g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为．

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12. 已知函数 $f (x) = x (2^{| x |} - 1)$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x^{2} - 2 x - 2 a) + f (a x - 3) ⩽ 0$ 对任意的 $x \in [1 ， 3]$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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13. 如图，已知半圆 $O$ 的直径 $A B = 8$ ，点 $P$ 是弦 $A C$ （包含端点 $A$ ， $C$ ）上的动点，点 $Q$ 在弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上．若 $Δ O A C$ 是等边三角形，且满足 $\overset{⇀}{O Q} \cdot \overset{⇀}{O P} = 0$ ，则 $\overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{B Q}$ 的最小值为.

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14. 记实数 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 中的最大数为 $\max {x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}}$ ，最小数为 $\min {x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}}$ .已知实数 $1 ⩽ x ⩽ y$ 且三数能构成三角形的三边长，若 $t = \max {\frac{1}{x} ， \frac{x}{y} ， y} \cdot \min {\frac{1}{x} ， \frac{x}{y} ， y}$ ，则 $t$ 的取值范围是.

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二、解答题

15. 已知 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知向量 $\vec{m} = (cos B, 2 {cos}^{2} \frac{C}{2} - 1)$ ， $\vec{n} = (c, b - 2 a)$ 且 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$ ．
（Ⅰ）求角 $C$ 的大小；
（Ⅱ）若 $Δ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ， $a + b = 6$ ，求 $c$ ．

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16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD ，且PA=AD ， E ， F分别是棱AB ， PC的中点.求证：

(1)、EF //平面PAD；

(2)、平面PCE⊥平面PCD ．

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17. 如图，设点 $F_{2} (1 ， 0)$ 为椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，圆 $C ： {(x - a)}^{2} + y^{2} = a^{2} ，$ 过 $F_{2}$ 且斜率为 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，交椭圆 $E$ 于点 $P ， Q$ 两点，已知当 $k = \sqrt{3}$ 时， $A B = 2 \sqrt{6} .$

(1)、求椭圆 $E$ 的方程.

(2)、当 $P F_{2} = \frac{10}{3}$ 时，求 $Δ P Q C$ 的面积.

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18. 如图为某大江的一段支流，岸线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 近似满足 $l_{1}$ ∥ $l_{2}$ ，宽度为 $7 k m$ ．圆 $O$ 为江中的一个半径为 $2 k m$ 的小岛，小镇 $A$ 位于岸线 $l_{1}$ 上，且满足岸线 $l_{1} ⊥ O A$ ， $O A = 3 k m$ ．现计划建造一条自小镇 $A$ 经小岛 $O$ 至对岸 $l_{2}$ 的水上通道 $A B C$ （图中粗线部分折线段， $B$ 在 $A$ 右侧），为保护小岛， $B C$ 段设计成与圆 $O$ 相切．设 $∠ ABC = π - θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ ．

(1)、试将通道 $A B C$ 的长 $L$ 表示成 $θ$ 的函数，并指出定义域；

(2)、若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？

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19. 已知函数 $f (x) = l n x + 2 a x (a \in R)$ ， $g (x) = x^{2} + 1 - 2 f (x)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，
①求函数 $f (x)$ 在点 $A (1 ， f (1))$ 处的切线方程；

②比较 $f (m)$ 与 $f (\frac{1}{m})$ 的大小；

(2)、当 $a > 0$ 时，若对 $\forall x \in (1 ， + \infty)$ 时， $g (x) ⩾ 0$ ，且 $g (x)$ 有唯一零点，证明： $a < \frac{3}{4}$ ．

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20. 若数列 ${a_{n}}$ 满足：对于任意 $n \in N^{*}$ ， $a_{n} + | a_{n + 1} - a_{n + 2} |$ 均为数列 ${a_{n}}$ 中的项，则称数列 ${a_{n}}$ 为“ $T$ 数列”．

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 4 n - 2 n^{2}$ ， $n \in N^{*}$ ，试判断数列 ${a_{n}}$ 是否为“ $T$ 数列”？说明理由；

(2)、若公差为 $d$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 为“ $T$ 数列”，求 $d$ 的取值范围；

(3)、若数列 ${a_{n}}$ 为“ $T$ 数列”， $a_{1} = 1$ ，且对于任意 $n \in N^{*}$ ，均有 $a_{n} < a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} < a_{n + 1}$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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21. 已知变换 $T$ 将平面上的点 $(1, \frac{1}{2})$ ， $(0, 1)$ 分别变换为点 $(\frac{9}{4}, - 2)$ ， $(- \frac{3}{2}, 4)$ ．设变换 $T$ 对应的矩阵为 $M$ ．

(1)、求矩阵 $M$ ；

(2)、求矩阵 $M$ 的特征值．

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22. 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线 $l ： {\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 1 - 2 t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）与圆 $C ： ρ^{2} + 2 ρ cos θ - 2 ρ sin θ = 0$ 的位置关系．

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23. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3 x + 6}$ ， $g (x) = \sqrt{14 - x}$ ，若存在实数 $x$ 使 $f (x) + g (x) > a$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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24. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ，且 $A B = A C = A_{1} B = 2$ .

(1)、求棱 $A A_{1}$ 与 $B C$ 所成的角的大小；

(2)、在棱 $B_{1} C_{1}$ 上确定一点 $P$ ，使二面角 $P - A B - A_{1}$ 的平面角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

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25. 设 $P (n ， m) = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} C_{n}^{k} \frac{m}{m + k}$ ， $Q (n ， m) = C_{n + m}^{n}$ ，其中 $m ， n \in N^{*}$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $P (n ， 1) \cdot Q (n ， 1)$ 的值；

(2)、对 $\forall m \in N^{+}$ ，证明： $P (n ， m) \cdot Q (n ， m)$ 恒为定值．

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