江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第一次教学情况调研试卷

试卷更新日期：2020-04-27 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知i为虚数单位，复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ ，则 $| z |$ ＝．

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2. 已知集合A＝ ${x | 0 \leq x \leq 1}$ ，B＝ ${x | a - 1 \leq x \leq 3}$ ，若A $\cap$ B中有且只有一个元素，则实数a的值为．

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3. 已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是．

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4. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ (a＞0)的一条渐近线方程为 $y = \frac{2}{3} x$ ，则a＝．

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5. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 $\frac{1}{2}$ ，乙获胜的概率是 $\frac{1}{3}$ ，则乙不输的概率是．

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6. 下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为．

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7. “直线l₁： $a x + y + 1 = 0$ 与直线l₂： $4 x + a y + 3 = 0$ 平行”是“a＝2”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．

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8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 9$ ， $\frac{S_{9}}{9} - \frac{S_{5}}{5} = - 4$ ，则 $a_{n}$ ＝．

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9. 已知点M是曲线y＝2lnx＋x²﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为．

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10. 已知 $3 \cos 2 α = 4 \sin (\frac{π}{4} - α)$ ， $α \in$ ( $\frac{π}{4}$ ， $π$ )，则 $\sin 2 α$ ＝．

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11. 如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ，分别以 $A$ 、 $D$ 为圆心， $1$ 为半径作圆弧 $E B$ 、 $E C$ （在线段 $A D$ 上）.由两圆弧 $E B$ 、 $E C$ 及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为.

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12. 在△ABC中，( $\vec{A B} - λ \vec{A C}$ )⊥ $\vec{B C}$ ( $λ$ ＞1)，若角A的最大值为 $\frac{π}{6}$ ，则实数 $λ$ 的值是．

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13. 若函数 $f (x) = a^{x}$ (a＞0且a≠1)在定义域[m ， n]上的值域是[m² ， n²](1＜m＜n)，则a的取值范围是．

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14. 如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC ， CD与BE交于点O ，若OB＝ $\sqrt{2}$ OC ，则△ABC面积的最大值为．

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二、解答题

15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣ $\sqrt{3}$ asinB＝0．

(1)、求A；

(2)、已知a＝2 $\sqrt{3}$ ，B＝ $\frac{π}{3}$ ，求△ABC的面积．

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16. 如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC ， △PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD ， E为PC的中点．

(1)、证明：AP∥平面EBD；

(2)、证明：BE⊥PC ．

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17. 某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l₁和l₂通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l₁和l₂所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l₃平行于观光道且与l₂相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l₃ ，且交l₃于M ），在堤岸线l₃上的E ， F两处建造建筑物，其中E ， F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l₃）．

(1)、在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；

(2)、游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．

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18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a＞b＞0)的离心率为 $\frac{1}{2}$ ．且经过点(1， $\frac{3}{2}$ )，A ， B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D ， E两点（其中D在x轴上方）．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - m x^{2} + m^{2} x$ (m $\in$ R)的导函数为 $f^{'} (x)$ ．

(1)、若函数 $g (x) = f (x) - f^{'} (x)$ 存在极值，求m的取值范围；

(2)、设函数 $h (x) = f^{'} (e^{x}) + f^{'} (\ln x)$ （其中e为自然对数的底数），对任意m $\in$ R ，若关于x的不等式 $h (x) \geq m^{2} + k^{2}$ 在(0， $+ \infty$ )上恒成立，求正整数k的取值集合．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， n 为奇数 \\ b_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ ，n $\in N^{*}$ ．

(1)、若 $a_{n} = n$ ， $b_{n} = 2^{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前2n项和 $T_{2 n}$ ；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且对任意n $\in N^{*}$ ， $c_{n + 1} > c_{n}$ 恒成立．
①当数列 ${b_{n}}$ 为等差数列时，求证：数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的公差相等；

②数列 ${b_{n}}$ 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列 ${b_{n}}$ ；若不能，请说明理由．

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21. 已知矩阵 $A = [\begin{array}{l} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}], B = [\begin{matrix} - 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$ ，且二阶矩阵M满足AM=B ，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + \cos θ \\ y = \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cos^{2} \frac{θ}{2} \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=4sin $θ$ .

(1)、求曲线C的普通方程；

(2)、求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.

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23. 已知正数x ， y ， z满足x+y+z=t（t为常数），且 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} + z^{2}$ 的最小值为 $\frac{8}{7}$ ，求实数t的值.

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24. 某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.

(1)、某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;

(2)、赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.

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25. 已知抛物线C：x²=4py（p为大于2的质数）的焦点为F ，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交C于A ， B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E ，抛物线C在点A ， B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.

(1)、求点G的轨迹方程；

(2)、当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.

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