安徽省合肥市2020届高三下学期“停课不停学”理数线上考试试卷

试卷更新日期：2020-04-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {y | - 1 < y < 3}$ ， $N = {x | x (2 x - 7) ⩽ 0}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $[0 ， 3)$ B、 $(0 ， \frac{7}{2}]$ C、 $(- 1 ， \frac{7}{2}]$ D、Ø

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2. 设复数 $z$ 满足 $| z - 3 | = 2$ ， $z$ 在复平面内对应的点为 $M (a, b)$ ，则 $M$ 不可能为（）

A、 $(2, \sqrt{3})$ B、 $(3, 2)$ C、 $(5, 0)$ D、 $(4, 1)$

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3. 已知 $a = \sqrt[4]{6}$ ， $b = \log_{\frac{5}{4}} \frac{4}{21}$ ， $c = {(\frac{1}{3})}^{2.9}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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4. 2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：
小明说：“鸿福齐天”是我制作的；

小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；

小金说：“兴国之路”不是我制作的，

若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（）

A、小明 B、小红 C、小金 D、小金或小明

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5. 函数 $f (x) = \frac{\sin x}{x} + \frac{x^{2} \cos x}{20}$ 在 $[- 2 π ， 0) \cup (0 ， 2 π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加 $A 、 B 、 C$ 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（）

A、24 B、36 C、48 D、64

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7. 已知向量 $\vec{a} = (m, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，若 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ B、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ C、 $- \frac{6 \sqrt{13}}{65}$ D、 $\frac{6 \sqrt{13}}{65}$

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8. 框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入 $x_{1} = 15$ ， $x_{2} = 16$ ， $x_{3} = 18$ ， $x_{4} = 20$ ， $x_{5} = 22$ ， $x_{6} = 24$ ， $x_{7} = 25$ ，则图中空白框中应填入（）

A、 $i > 6$ ， $S = \frac{S}{7}$ B、 $i ⩾ 6$ $S = \frac{S}{7}$ C、 $i > 6$ ， $S = 7 S$ D、 $i ⩾ 6$ ， $S = 7 S$

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9. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $S_{10} = 40$ ， $a_{6} = 5$ ，则（）

A、 $d = 3$ B、 $a_{10} = 12$ C、 $S_{20} = 280$ D、 $a_{1} = - 4$

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10. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (- x_{1}, - y_{1})$ 在椭圆 $C$ 上，其中 $x_{1} > 0$ ， $y_{1} > 0$ ，若 $| P Q | = 2 | O F_{2} |$ ， $| \frac{Q F_{1}}{P F_{1}} | \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $[0, \frac{\sqrt{6} - 1}{2})$ B、 $(0, \sqrt{6} - 2]$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{3} - 1]$ D、 $(0, \sqrt{3} - 1]$

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11. 关于函数 $f (x) = 4 | \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3}) | + 4 | \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3}) |$ ，有下述三个结论：
①函数 $f (x)$ 的一个周期为 $\frac{π}{2}$ ；②函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}]$ 上单调递增；③函数 $f (x)$ 的值域为 $[4, 4 \sqrt{2}]$ .其中所有正确结论的编号是（）

A、①② B、② C、②③ D、③

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12. 已知四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为等腰梯形， $A D / / B C$ ， $∠ B A D = 120^{°}$ ， $Δ S A D$ 是等边三角形，且 $S A = A B = 2 \sqrt{3}$ ；若点 $P$ 在四棱锥 $S - A B C D$ 的外接球面上运动，记点 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离为 $d$ ，若平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，则 $d$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{13} + 1$ B、 $\sqrt{13} + 2$ C、 $\sqrt{15} + 1$ D、 $\sqrt{15} + 2$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = m {(2 x + 1)}^{3} - 2 e^{x}$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线与直线 $4 x + y - 2 = 0$ 平行，则 $m =$ .

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14. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $2 S_{n} = 5 a_{n} - 7$ ，则 $a_{n} =$

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15. 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将 $A$ 地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为 $m$ ，中位数为n ，则 $m - n =$ .

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，直线 $l$ 是双曲线 $C$ 过第一、三象限的渐近线，记直线 $l$ 的倾斜角为 $α$ ，直线 $1^{'} ： y = \tan \frac{α}{2} \cdot x$ ， $F_{2} M ⊥ l^{'}$ ，垂足为 $M$ ，若 $M$ 在双曲线 $C$ 上，则双曲线 $C$ 的离心率为

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .设 $\frac{3 \sin B}{\sin C} + \frac{3 \sin C}{\sin B} = \frac{3 \sin^{2} A}{\sin B \sin C} + 4 \sqrt{2}$

(1)、求 $\tan A$ 的值；

(2)、若 $\sqrt{2} \sin B = 3 \sin C$ ，且 $S_{Δ A B C} = 2 \sqrt{2}$ ，求 $a$ 的值.

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18. 如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $Δ A B C$ 为等边三角形， $∠ B A B_{1} = ∠ B B_{1} A$ ， $A B_{1} \cap A_{1} B = O$ ， $C O ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ， $D$ 是线段 $A_{1} C_{1}$ 上靠近 $A_{1}$ 的三等分点.

(1)、求证： $A B ⊥ A A_{1}$ ；

(2)、求直线 $O D$ 与平面 $A_{1} A C C_{1}$ 所成角的正弦值.

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19. 记抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D, E$ 在抛物线 $C$ 上，且直线 $D E$ 的斜率为1，当直线 $D E$ 过点 $F$ 时， $| D E | = 4$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若 $G (2, 2)$ ，直线 $D O$ 与 $E G$ 交于点 $H$ ， $\vec{D I} + \vec{E I} = \vec{0}$ ，求直线 $H I$ 的斜率.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x - \cos x$ .

(1)、当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时，求证： $f (x) > 0$ ；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + 1 n (x + 1)$ ，求证：函数 $g (x)$ 存在极小值.

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21. 为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在 $A$ 市与 $B$ 市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为 $2 m$ ，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为 $\frac{1}{2}$ .
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} ⩾ k)$

0.100

0.050

0.010

0.001

$k$

2.706

3.841

6.635

10.828

(1)、现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：

A市居民

B市居民

喜欢杨树

300

200

喜欢木棉树

250

250

是否有 $99.9 %$ 的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；

(2)、若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有 $X$ 个路口种植杨树，求 $X$ 的分布列以及数学期望；

(3)、在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为 $M$ ，求证： $3 M ⩾ m (m - 1) (m - 2)$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos θ \\ y = 2 \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{4}{\cos^{2} α + 4 \sin^{2} α}$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程以及曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l : y = k x$ 与曲线 $C_{1}$ 、曲线 $C_{2}$ 在第一象限交于 $P, Q$ 两点，且 $| O P | = 2 | O Q |$ ，点 $M$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，求 $Δ M P Q$ 的面积.

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ .

(1)、求证： $a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4} ⩾ \frac{a b (a^{4} + b^{4})}{a^{2} + b^{2}}$ ；

(2)、若 $a b c = 1$ ，求证： $a^{3} + b^{3} + c^{3} ⩾ a b + b c + a c$ .

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$P (K^{2} ⩾ k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	10.828

	A市居民	B市居民
喜欢杨树	300	200
喜欢木棉树	250	250