北京市朝阳区2016-2017学年高考理数二模考试试卷

试卷更新日期：2017-09-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）

A、23 B、31 C、32 D、63

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3. “x＞0，y＞0”是“ $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为4π，则（）

A、函数f（x）的图象关于原点对称 B、函数f（x）的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、函数f（x）图象上的所有点向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D、函数f（x）在区间（0，π）上单调递增

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5. 现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为（）

A、12 B、24 C、36 D、48

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6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} l o g_{a} x ， x > 0 \\ | x + 3 | ， - 4 \leq x < 0 \end{matrix}$ （a＞0且a≠1）．若函数f（x）的图象上有且只有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（）

A、（0，1） B、（1，4） C、（0，1）∪（1，+∞） D、（0，1）∪（1，4）

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8. 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c∈N^*）；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是（）

A、每场比赛第一名得分a为4 B、甲可能有一场比赛获得第二名 C、乙有四场比赛获得第三名 D、丙可能有一场比赛获得第一名

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二、填空题

9. 双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的渐近线方程是，离心率是．

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10. 若平面向量 $\vec{a}$ =（cosθ，sinθ）， $\vec{b}$ =（1，﹣1），且 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则sin2θ的值是．

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11. 等比数列{a_n}的前n项和为S_n ．已知a₁=2，a₄=﹣2，则{a_n}的通项公式a_n= ， S₉= ．

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12. 在极坐标系中，圆ρ=2cosθ被直线ρcosθ= $\frac{1}{2}$ 所截得的弦长为．

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13. 已知x，y满足 ${\begin{matrix} y \geq x ， \\ x + y \leq 4 \\ 2 x - y \geq k \end{matrix}$ 若z=x+2y有最大值8，则实数k的值为．

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14. 已知两个集合A，B，满足B⊆A．若对任意的x∈A，存在a_i ， a_j∈B（i≠j），使得x=λ₁a_i+λ₂a_j（λ₁ ， λ₂∈{﹣1，0，1}），则称B为A的一个基集．若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B元素个数的最小值是．

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三、解答题

15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=c，2sinB= $\sqrt{3}$ sinA．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积．

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16. 从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；
（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．

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17. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D，E分别为边AC，AB的中点，点F，G分别为线段CD，BE的中点．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使∠A₁DC=60°．点Q为线段A₁B上的一点，如图2．

（Ⅰ）求证：A₁F⊥BE；

（Ⅱ）线段A₁B上是否存在点Q使得FQ∥平面A₁DE？若存在，求出A₁Q的长，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）当 $\vec{A_{1} Q} = \frac{3}{4} \vec{A_{1} B}$ 时，求直线GQ与平面A₁DE所成角的大小．

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18. 已知椭圆W： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的上下顶点分别为A，B，且点B（0，﹣1）．F₁ ， F₂分别为椭圆W的左、右焦点，且∠F₁BF₂=120°．
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；
（Ⅱ）点M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点．直线AE与直线y=﹣1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求∠OEG的大小．

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19. 已知函数f（x）=e^x+x²﹣x，g（x）=x²+ax+b，a，b∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线l与曲线y=g（x）切于点（1，c），求a，b，c的值；
（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．

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20. 各项均为非负整数的数列{a_n}同时满足下列条件：
①a₁=m（m∈N^*）；②a_n≤n﹣1（n≥2）；③n是a₁+a₂+…+a_n的因数（n≥1）．
（Ⅰ）当m=5时，写出数列{a_n}的前五项；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前三项互不相等，且n≥3时，a_n为常数，求m的值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a_n为常数．

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