安徽省芜湖市2016-2017学年高考理数5月份考试试卷

试卷更新日期：2017-09-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设集合A={x∈R|x＞1}，B={x∈R|x²≤4}，则A∪B=（）

A、[﹣2，+∞） B、（1，+∞） C、（1，2] D、（﹣∞，+∞）

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2. 已知复数z满足z（1﹣i）²=1+i （i为虚数单位），则|z|为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为4 $\sqrt{5}$ ，渐近线方程为2x±y=0，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{64} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

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4. “a²=1”是“函数 $f (x) = l g (\frac{2}{1 - x} + a)$ 为奇函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各六名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分），规定85分以上（含85分）为优秀，现分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的数学成绩，则两人成绩都为优秀的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 执行所给的程序框图，则输出的值是（　　）

A、 $\frac{1}{55}$ B、 $\frac{1}{58}$ C、 $\frac{1}{61}$ D、 $\frac{1}{64}$

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7. 已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， S₁₀=40，则a₃•a₈的最大值为（）

A、14 B、16 C、24 D、40

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8. 若x，y满足 ${\begin{matrix} x + y \geq 0 \\ x \geq 1 \\ x - y \geq 0 \end{matrix}$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、y≥0 B、x≥2 C、2x﹣y+1≥0 D、x+2y+1≥0

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9. 函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，|φ|≤ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，若方程f（x）=a在x∈[﹣ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ ]上有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A、[ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\sqrt{2}$ ） B、[﹣ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\sqrt{2}$ ） C、[﹣ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $\sqrt{2}$ ） D、[ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $\sqrt{2}$ ）

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10. 设P是正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的对角面BDD₁B₁（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA₁、平面ADA₁的距离相等，则符合条件的点P（）

A、仅有一个 B、有有限多个 C、有无限多个 D、不存在

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11. 以椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）上一动点M为圆心，1为半径作圆M，过原点O作圆M的两条切线，A，B为切点，若∠AOB=θ，θ∈[ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{2}$ ]，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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12. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} - (x + 1) \cdot e^{x} ， x \leq a \\ b x - 1 ， x > a \end{matrix}$ ，若函数f（x）有最大值M，则M的取值范围是（）

A、（ $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2 e^{2}}$ ，0） B、（0， $\frac{1}{e^{2}}$ ] C、（0， $\frac{1}{2} + \frac{1}{2 e^{2}}$ ] D、（ $\frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{e^{2}}$ ]

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二、填空题：

13. 设m∈R，向量 $\vec{a}$ =（m+2，1）， $\vec{b}$ =（1，﹣2m），且 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |= ．

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14. （x²﹣4）（x+ $\frac{1}{x}$ ）⁹的展开式中x³的系数为．（用数字填写答案）

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15. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”外接球的体积为．

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16. 已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁= $\frac{3}{2}$ 且2S_n﹣S_n_﹣1=n²+3n﹣1（n≥2），则a_n= ．

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三、解答题：

17. △ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=2，b=3，∠C=2∠A．
（I）求c的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

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18. 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC=2AD=2DC，四边形ABEF是正方形．将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE₁F₁的位置，使平面ABE₁F₁⊥平面ABCD，M为AF₁的中点，如图2．
（I）求证：AC⊥BM；
（Ⅱ）求平面CE₁M与平面ABE₁F₁所成锐二面角的余弦值．

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19. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y=ax^b（a，b为大于0的常数）．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸（mm）
38
48
58
68
78
88
质量（g）
16.8
18.8
20.7
22.4
24.0
25.5
对数据作了初步处理，相关统计量的值如下表：
$\sum_{i = 1}^{6} (l n x_{i} \cdot l n y_{i})$
$\sum_{i = 1}^{6} (l n x_{i})$
$\sum_{i = 1}^{6} (l n y_{i})$
$\sum_{i = 1}^{6} {(l n x_{i})}^{2}^{}$
75.3
24.6
18.3
101.4
（Ⅰ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（Ⅱ）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（ $\frac{e}{9}$ ， $\frac{e}{7}$ ）内时为优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望．
附：对于一组数据（v₁ ， u₁），（v₂ ， u₂），…，（v_n ， u_n），其回归直线u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} v_{i} μ_{i} - n \bar{v} \cdot \bar{u}}{\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}$ ， $\hat{α}$ = $\bar{u}$ ﹣ $\hat{β} \bar{v}$ ．

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20. 如图，点F是抛物线τ：x²=2py （p＞0）的焦点，点A是抛物线上的定点，且 $\vec{A F}$ =（2，0），点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC斜率分别为k₁ ， k₂ ．
（I）求抛物线τ的方程；
（Ⅱ）若k₁﹣k₂=2，点D是点B，C处切线的交点，记△BCD的面积为S，证明S为定值．

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21. 已知函数f（x）=2lnx+x²﹣2ax（a＞0）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x₁ ， x₂（x₁＜x₂），且f（x₁）﹣f（x₂）≥ $\frac{3}{2}$ ﹣2ln2恒成立，求a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = m + \sqrt{2} t \\ y = \sqrt{2} t \end{matrix}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²= $\frac{4}{1 + s i n^{2} θ}$ ，且直线l经过曲线C的左焦点F．
（ I ）求直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．

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23. 设函数f（x）=|x﹣a|+|2x+2|﹣5（a∈R）．
（Ⅰ）试比较f（﹣1）与f（a）的大小；
（Ⅱ）当a≥﹣1时，若函数f（x）的图象和x轴围成一个三角形，则实数a的取值范围．

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尺寸（mm）	38	48	58	68	78	88
质量（g）	16.8	18.8	20.7	22.4	24.0	25.5

$\sum_{i = 1}^{6} (l n x_{i} \cdot l n y_{i})$	$\sum_{i = 1}^{6} (l n x_{i})$	$\sum_{i = 1}^{6} (l n y_{i})$	$\sum_{i = 1}^{6} {(l n x_{i})}^{2}^{}$
75.3	24.6	18.3	101.4