2015年甘肃省兰州市中考数学真题试卷（A卷）

试卷更新日期：2016-04-21 类型：中考真卷

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一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）

1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）

A、y=3x﹣1 B、y=ax²+bx+c C、s=2t²﹣2t+1 D、y=x²+ $\frac{1}{x}$

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2.
由五个同样大小的立方体组成如图的几何体，则关于此几何体三种视图叙述正确的是（　　）

A、左视图与俯视图相同 B、左视图与主视图相同 C、主视图与俯视图相同 D、三种视图都相同

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3. 在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（　　）

A、y=（x+2）² B、y=2x²﹣2 C、y=﹣2x²﹣2 D、y=2（x﹣2）²

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4.
如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cosA=（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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5.
如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（　　）

A、（2，5） B、（2.5，5） C、（3，5） D、（3，6）

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6. 一元二次方程x²﹣8x﹣1=0配方后可变形为（　　）

A、（x+4）²=17 B、（x+4）²=15 C、（x﹣4）²=17 D、（x﹣4）²=15

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7. 下列命题错误的是（　　）

A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B、平行四边形的对角线互相平分 C、矩形的对角线相等　 D、对角线相等的四边形是矩形

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8. 在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （k≠0）的图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9.
如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（　　）

A、80° B、90° C、100° D、无法确定

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10.
如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则的△AEF的面积是（　　）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　）

A、（1+x）²= $\frac{11}{10}$ B、（1+x）²= $\frac{10}{9}$ C、1+2x= $\frac{11}{10}$ D、1+2x= $\frac{10}{9}$

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12. 若点P₁（x₁ ， y₁），P₂（x₂ ， y₂）在反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （k＞0）的图象上，且x₁=﹣x₂ ，则（　　）

A、y₁＜y₂ B、y₁=y₂ C、y₁＞y₂ D、y₁=﹣y₂

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13.
二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则（　　）

A、ac+1=b B、ab+1=c C、bc+1=a D、以上都不是

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14. 二次函数y=x²+x+c的图象与x轴的两个交点A（x₁ ， 0），B（x₂ ， 0），且x₁＜x₂ ，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（　　）

A、当n＜0时，m＜0 B、当n＞0时，m＞x₂ C、当n＜0时，x₁＜m＜x₂ D、当n＞0时，m＜x₁

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15.
如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（　　）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

16. 若一元二次方程ax²﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b= ．

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17. 如果 $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ = $\frac{e}{f}$ =k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．

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18. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
摸球试验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
摸出黑球次数
46
487
2506
5008
24996
50007
根据列表，可以估计出n的值是．

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19.
如图，点P、Q是反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S₁ ， △QMN的面积记为S₂ ，则S₁ S₂ ．（填“＞”或“＜”或“=”）

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20. 已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是．

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三、解答题（共8小题，满分70）

21.

(1)、计算：2^﹣1﹣ $\sqrt{3}$ tan60°+（π﹣2015）⁰+|﹣ $\frac{1}{2}$ |；

(2)、解方程：x²﹣1=2（x+1）．

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22.
如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）

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23. 为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．

(1)、请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；

(2)、求三次传球后，球回到甲脚下的概率；

(3)、三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？

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24.
如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．

(1)、该小组的同学在这里利用的是投影的有关知识进行计算的；

(2)、试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程。

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25.
如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．

(1)、求证：AD=BC

(2)、若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分。

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26.
如图，A（﹣4， $\frac{1}{2}$ ），B（﹣1，2）是一次函数y₁=ax+b与反比例函数y₂= $\frac{m}{x}$ 图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．

(1)、根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y₁﹣y₂＞0？

(2)、求一次函数解析式及m的值；

(3)、P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．

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27.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．

(1)、判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)、若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）

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28.
已知二次函数y=ax²的图象经过点（2，1）．

(1)、求二次函数y=ax²的解析式；

(2)、一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax²的图象交于点A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂）两点．
①当m= $\frac{3}{2}$ 时（图①），求证：△AOB为直角三角形；
②试判断当m≠ $\frac{3}{2}$ 时（图②），△AOB的形状，并证明； n>S_扇形DOE求得即可．

(3)、根据第2问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）

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摸球试验次数	100	1000	5000	10000	50000	100000
摸出黑球次数	46	487	2506	5008	24996	50007