山西省芮城县2019-2020学年高二下学期理数3月月考试卷

试卷更新日期：2020-04-23 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\bar{z}$ （ $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数）的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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2. 设 $f (x)$ 是可导函数，且满足 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1) - f (1 + Δ x)}{2 Δ x} = 2$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为（）

A、4 B、-1 C、1 D、-4

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3. 如图是函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f' (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $x = a$ 是函数 $y = f (x)$ 的极小值点 B、当 $x = - a$ 或 $x = b$ 时，函数 $f (x)$ 的值为0 C、函数 $y = f (x)$ 关于点 $(0 ， c)$ 对称 D、函数 $y = f (x)$ 在 $(b ， + \infty)$ 上是增函数

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4. 若数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $b_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 也为等差数列，类比这一性质可知，若 ${c_{n}}$ 是正项等比数列，且 ${d_{n}}$ 也是等比数列，则 $d_{n}$ 的表达式应为（）

A、 $d_{n} = \frac{c_{1} + c_{2} + ... + c_{n}}{n}$ B、 $d_{n} = \frac{c_{1} . c_{2} ... c_{n}}{n}$ C、 $d_{n} = \sqrt[]{\frac{c_{1}^{n} + c_{2}^{n} + ... + c_{n}^{n}}{n}}$ D、 $d_{n} = \sqrt[]{c_{1} . c_{2} ... c_{n}}$

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5. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x \ln x + 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线方程为（）

A、 $y = - x$ B、 $y = - x + 2$ C、 $y = x$ D、 $y = x - 2$

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6. 观察下列各式： $5^{5} = 3125$ ， $5^{6} = 15625$ ， $5^{7} = 78125$ ，…，则 $5^{2019}$ 的末四位数字为（）

A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

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7. 已知复数 $z = x + y i (x ， y \in R)$ ，且 $| z - 2 | = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{y + 1}{x}$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 + \sqrt{6}$ D、 $2 - \sqrt{6}$

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8. 用反证法证明命题：“ $a ， b ， c ， d \in R$ ， $a + b = 1$ ， $c + d = 1$ ，且 $a c + b d > 1$ ，则 $a ， b ， c ， d$ 中至少有一个负数”时的假设为（）

A、 $a ， b ， c ， d$ 全都大于等于0 B、 $a ， b ， c ， d$ 全为正数 C、 $a ， b ， c ， d$ 中至少有一个正数 D、 $a ， b ， c ， d$ 中至多有一个负数

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9. 若关于 $x$ 的方程 $x^{3} - 3 x - m = 0$ 在 $[0 ， 2]$ 上有根，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $[- 2 ， 0]$ D、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$

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10. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (- 1) = 2$ ，对任意 $x \in R$ ， $f^{'} (x) > 2$ ，则 $f (x) > 2 x + 4$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1)$ D、 $(- \infty ， + \infty)$

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11. 若函数 $f (x) = \ln x + \frac{1}{2} x^{2} - b x$ 存在单调递减区间，则实数b的取值范围为（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(- \infty ， 2]$

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12. 已知 $f (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} + \sin x}{x^{2} + 1}$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则 $f (2019) + f^{'} (2019) +$ $f (- 2019) - f^{'} (- 2019) =$ （）

A、8056 B、4028 C、1 D、2

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二、填空题

13. 已知函数y＝ $f (x)$ 的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是 $y = \frac{1}{2} x ＋ 2$ ，则 $f (1) ＋ f' (1)$ ＝.

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14. 若 $z = \frac{{(1 + i)}^{4} {(- 1 - \sqrt{3} i)}^{7}}{{(1 - i)}^{12}}$ ，则 $| z |$ =

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15. 集合 ${a ， b ， c} = {1 ， 2 ， 3}$ ，现有甲、乙、丙三人分别对 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值给出了预测，甲说 $a \neq 3$ ，乙说 $b = 3$ ，丙说 $c \neq 1$ .已知三人中有且只有一个人预测正确，那么 $a + 10 b + 100 c =$ .

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16. 已知定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足 $f^{'} (x) < f (x)$ ，且 $f (x + 2)$ 为偶函数， $f (4) = 1$ ，则不等式 $f (x) < e^{x}$ 的解集为

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三、解答题

17. 已知：复数 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 在复平面上所对应的点关于y轴对称，且 $z_{1} (1 - i) = z_{2} (1 + i)$ （i为虚数单位），| $z_{1}$ |= $\sqrt{2}$ ．
（I）求 $z_{1}$ 的值；

（II）若 $z_{1}$ 的虚部大于零，且 $\frac{m}{z_{1}} + \bar{z_{1}} = n + i$ （m，n∈R），求m，n的值．

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18. 选择恰当的方法证明下列各式：

(1)、 $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} > \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1} (n \in N^{*})$ ；

(2)、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，证明： $\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ .

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