人教A版（2019）数学必修第二册 8.6 空间直线、平面的垂直

试卷更新日期：2020-04-21 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（）

A、平面ABC⊥平面ADC B、平面ADC⊥平面BCD C、平面ABC⊥平面BDC D、平面ABC⊥平面ADB

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2. 如图，在三棱锥 $A - BCD$ 中，侧面 $ABD ⊥$ 底面BCD， $BC ⊥ CD$ ， $AB = AD = 4$ ， $BC = 6$ ， $BD = 4 \sqrt{3}$ ，直线AC与底面BCD所成角的大小为 $($ $)$

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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3. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中,若PA,PB,PC两两互相垂直,作 $P O ⊥$ 面ABC,垂足为O，则点O是 $Δ A B C$ 的（）

A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

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4. 下列命题中错误的是（）

A、如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D、如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

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5. 如图，PA⊥☉O所在的平面，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，给出下列结论：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B$ ， $A B = B C$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $B D_{1}$ ∥ $B_{1} C$ B、 $A_{1} D_{1}$ ∥平面 $A B_{1} C$ C、 $B D_{1} ⊥ A C$ D、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A B_{1} C$

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7. 如图所示，平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = C D = 1 ， B D = \sqrt{2}$ ， $B D ⊥ C D$ ，将其沿对角线 $B D$ 折成四面体 $A - B C D$ ，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，则下列说法中不正确的是（）

A、 $平面 A C D ⊥ 平面 A B D$ B、 $A B ⊥ C D$ C、 $平面 A B C ⊥ 平面 A C D$ D、 $A D ⊥ 平面 A B C$

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8. 如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（）
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；
②平面SBC内存在直线与SA平行
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；
④存在点E使得SE⊥BA．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、4 $\sqrt{3}$ D、4 $\sqrt{7}$

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10. 如图所示，在正方形 $S G_{1} G_{2} G_{3}$ 中， $E ， F$ 分别是 $G_{1} G_{2} ， G_{2} G_{3}$ 的中点，现在沿 $S E ， S F ， E F$ 把这个正方形折成一个四面体，使 $G_{1} ， G_{2} ， G_{3}$ 三点重合，重合后的点记为 $G$ .给出下列关系：
① $S G ⊥$ 平面 $E F G$ ；② $S E ⊥$ 平面 $E F G$ ；③ $G F ⊥ S E$ ；④ $E F ⊥$ 上平面 $S E G$ .其中关系成立的有（）

A、①② B、①③ C、②③ D、③④

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11. 在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

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12. 如图，已知 $Δ A B C$ 是顶角为 $C = 120^{°}$ 的等腰三角形，且 $A C = 2$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点.将 $Δ A C D$ 沿 $C D$ 折起，使得 $A C ⊥ B C$ ，则此时直线 $B C$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、填空题

13. 如图，直线AB⊥平面BCD ， ∠BCD=90°，则图中直角三角形的个数为．

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14. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C_{1} ⊥ A_{1} C$ .有下列条件：
① $A B = A C = B C$ ；② $A B ⊥ A C$ ；③ $A B = A C$ .其中能成为 $B C_{1} ⊥ A B_{1}$ 的充要条件的是．（填上序号）

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15.
如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于

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16.
设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图），AE=EB=DE=2．现将△ADE沿DE折起，使二面角A﹣DE﹣B为90°，P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点，若MQ⊥PN时，求PQ长度的取值范围

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三、解答题

17. 如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋ $\sqrt{3}$ ，过A作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.

(1)、求证：BC⊥面CDE；

(2)、在线段AE上是否存在一点R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理由.

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点，以 $A E$ 为折痕将 $Δ D A E$ 向上折起， $D$ 变为 $D'$ ，且平面 $D' A E ⊥$ 平面 $A B C E$ .

(1)、求证： $A D' ⊥ B E$ ；

(2)、求二面角 $A - B D' - E$ 的大小.

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19. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ，点 $F$ 是 $A C$ 上的动点．现将矩形 $A B C D$ 沿着对角线 $A C$ 折成二面角 $D^{'} - A C - B$ ，使得 $D^{'} B = \sqrt{30}$ ．
（Ⅰ）求证：当 $A F = \sqrt{3}$ 时， $D^{'} F ⊥ B C$ ；
（Ⅱ）试求 $C F$ 的长，使得二面角 $A - D^{'} F - B$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ．

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20. 如图，在多面体 $A B C D E$ 中， $A B D E$ 是平行四边形， $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 两两垂直.

(1)、求证：平面 $A C D ⊥$ 平面 $E C D$ ；

(2)、若 $B C = C D = D B = \sqrt{2}$ ，求点 $B$ 到平面 $E C D$ 的距离.

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21. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A D ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ，其垂足 $D$ 落在直线 $A_{1} B$ 上.

(1)、求证： $B C ⊥ A_{1} B$ ；

(2)、若 $A D = \sqrt{3} ， A B = B C = 2 ， P$ 为 $A C$ 的中点，求三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积.

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22. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $E$ 是棱 $A B$ 上的动点， $F$ 是棱 $C C_{1}$ 上一点， $C F ： F C_{1} = 1 ： 2$ .

(1)、求证： $B_{1} D_{1} ⊥ A F_{1}$ ；

(2)、若直线 $A F_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} E$ ，试确定点 $E$ 的位置，并证明你的结论；

(3)、设点 $P$ 在正方体的上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上运动，求总能使 $B P$ 与 $A_{1} F$ 垂直的点 $P$ 所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）

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