人教A版（2019）数学必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积

试卷更新日期：2020-04-21 类型：同步测试

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一、单选题

1. 若球的体积与表面积相等，则球的半径是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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2. 已知正方体外接球的体积是 $\frac{32}{3}$ π，那么正方体的棱长等于（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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3. 已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的侧面积为（）

A、π B、2π C、6π D、12π

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4. 设正方体的表面积为24 $c m^{2}$ ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）

A、 $\frac{4}{3} π$ $c m^{3}$ B、 $\sqrt{6} π$ $c m^{3}$ C、 $\frac{8}{3} π$ $c m^{3}$ D、 $\frac{32}{3} π$ $c m^{3}$

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5. 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为（）

A、 $\frac{7 π}{2}$ B、 $56 π$ C、 $14 π$ D、 $64 π$

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6. 当圆锥的侧面积和底面积的比值是 2 时，圆锥侧面展开图的圆心角等于（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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7. 用与球心距离为 $1$ 的平面去截球所得的截面面积为 $π$ ，则球的表面积为（）

A、 $2 π$ B、 $4 π$ C、 $8 π$ D、 $\frac{8}{3} π$

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8. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积是36，点E在棱 $C C_{1}$ 上，且 $C E = 2 E C_{1}$ ，则三棱锥E-BCD的体积是（）

A、3 B、4 C、6 D、12

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9. 如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（）

A、 $\frac{500 π}{3} {cm}^{2}$ B、 $\frac{625 π}{9} {cm}^{2}$ C、 $\frac{625 π}{36} {cm}^{2}$ D、 $\frac{15625 π}{162} {cm}^{2}$

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二、填空题

10. 一个长方体的三个面的面积分别是 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{6}$ ，则这个长方体的体积为.

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11. 已知正四棱柱底面边长为 $2 \sqrt{2}$ ，体积为32，则此四棱柱的表面积为

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12. 已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 $2 c m$ ，则该棱锥的体积为 $c m^{3}$ .

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13. 已知各个顶点都在同一个球面上的正三棱柱的棱长为 $2$ ，则这个球的表面积为.

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14. 若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为.

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三、解答题

15. 如图所示，四棱锥V-ABCD的底面为边长等于2的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长均为4，求这个四棱锥的体积及表面积.

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16.

(1)、某圆锥的侧面展开图为圆心角为 $120 °$ ，面积为 $3 π$ 的扇形，求该圆锥的表面积和体积.

(2)、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为 $\sqrt{6}$ 的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为 $12 π$ ，求该三棱柱的体积.

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17. 如图，某几何体的下部分是长为8，宽为6，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：

(1)、该几何体的体积；

(2)、该几何体的表面积．

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18. 如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？

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