山西省阳泉市郊区2019年中考数学一模考试试卷

试卷更新日期：2020-04-21 类型：中考模拟

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一、选择题

1. （-2）³的计算结果是（）

A、6 B、 $- 6$ C、 $- 8$ D、8

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2. 2018年阳泉市郊区常住人口数量大约有287000人．将287000用科学记数法表示为（）

A、 $0.287 \times 10^{6}$ B、 $2.87 \times 10^{5}$ C、 $28.7 \times 10^{4}$ D、 $287 \times 10^{3}$

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3. 下列图形中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确是（）

A、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ B、 $a^{4} \cdot a^{2} = a^{8}$ C、 $a^{9} \div a^{3} = a^{3}$ D、 ${(- a b)}^{2} = a^{2} b^{2}$

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5. 如图，AB∥CD ， AD=CD ， ∠1=55°，则∠2的度数是（）

A、 $70^{\circ}$ B、 $65^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $55^{\circ}$

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6. 解分式方程 $\frac{x}{x - 1}$ - $\frac{2 x - 1}{1 - x}$ = $\frac{1}{2}$ 时，去分母后得到的方程正确是（）

A、 $x - 2 x + 1 = x - 1$ B、 $2 x - 4 x + 2 = x - 1$ C、 $2 x + 4 x - 2 = x - 1$ D、 $x + 2 x - 1 = x - 1$

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7. 如图是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，该几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则正确方程组是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = y + 5 \\ \frac{1}{2} x = y - 5 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = y - 5 \\ \frac{1}{2} x = y + 5 \end{array}$ C、 ${\begin{matrix} x = y + 5 \\ 2 x = y - 5 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x = y - 5 \\ 2 x = y + 5 \end{matrix}$

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9. 如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B ， ∠P=30°，OB=4，则线段BP的长为（）

A、6 B、 $4 \sqrt{3}$ C、4 D、8

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10. 如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（-1，3），点B在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心、适当长度为半径作弧，分别交OA、OB于点D ， E；②分别以点D ， E为圆心、大于 $\frac{1}{2}$ DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF ，交边AC于点G ．则点G的坐标为（）

A、 $(\sqrt{10} ， 3)$ B、 $(\sqrt{10} - 1 ， 3)$ C、 $(4 - \sqrt{10} ， 3)$ D、 $(\sqrt{10} - 3 ， 3)$

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二、填空题

11. 因式分解：x³-9x=.

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12. 一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的球共10个，从中随机摸出一个球，若摸到红色球的概率为 $\frac{3}{5}$ ，则袋子中红色球的个数是．

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13. 如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx-6的图象交于点P ，则不等式kx-6＜2x+b的解集是．

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14. 某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m ，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m ，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m ．则篮球架横伸臂DG的长约为m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈ $\frac{4}{5}$ ，cos53°≈ $\frac{3}{5}$ ，tan53°≈ $\frac{4}{3}$ ）．

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15. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=6，将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ECF ，点E落在边AD上，则阴影部分的面积是．

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三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）

16. 先化简，再求值：（1- $\frac{2}{x + 2}$ ）÷ $\frac{x}{x^{2} - 4}$ ，其中x= $\sqrt{2}$ +2．

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17. 观察下列各式及证明过程：
① $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}$ = $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{3}}$ ；

② $\sqrt{\frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})}$ = $\frac{1}{3} \sqrt{\frac{3}{8}}$ ；

③ $\sqrt{\frac{1}{3} (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})}$ = $\frac{1}{4} \sqrt{\frac{4}{15}}$ ．

验证： $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}$ = $\sqrt{\frac{1}{2 \times 3}}$ = $\sqrt{\frac{2}{2^{2} \times 3}}$ = $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{3}}$ ；

$\sqrt{\frac{1}{2} \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})}$ = $\sqrt{\frac{1}{2 \times 3 \times 4}}$ = $\sqrt{\frac{3}{2 \times 3^{2} \times 4}}$ = $\frac{1}{3} \sqrt{\frac{3}{8}}$ ；

$\sqrt{\frac{1}{3} \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})}$ = $\sqrt{\frac{1}{3 \times 4 \times 5}}$ = $\sqrt{\frac{4}{3 \times 4^{2} \times 5}}$ = $\frac{1}{4} \sqrt{\frac{4}{15}}$ ．

(1)、按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想 $\sqrt{\frac{1}{4} (\frac{1}{5} - \frac{1}{6})}$ 的变形结果，并进行验证；

(2)、针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数，且n≥1）表示的等式．

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四、解答题（本大题共6小题，共61.0分）

18.

(1)、计算： $\sqrt{12}$ -3tan30°-（π-2）⁰+（ $\frac{1}{3}$ ）^-1 ．

(2)、解方程：x²-1=2（x-1）² ．

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19. 为了调查阳泉市民上班时最常用的交通工具情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A ．自行车，B ．电动车，C ．公交车，D ．家庭汽车，E ．其他”五个选项中选择最常用的一.将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．

(1)、本次调查中，一共调查了名市民；扇形统计图中，C项对应的扇形的圆心角是度；补全条形统计图；

(2)、若甲、乙两人上班时从A ， B ， C ， D四种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图法，求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．

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20. 如图， $⊙ O$ 是 $△$ ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交 $⊙ O$ 于点D，过点D作DE $⊥$ AC分别交AC、AB的延长线于点E、F.

(1)、求证：EF是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若AC=4，CE=2，求 $\overset{⌢}{B D}$ 的长度.（结果保留 $π$ ）

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21. 阳泉晋东电脑城准备购进100台A、B两种型号的电脑，各自的价格如下表：

电脑型号

进价（元/台）

售价（元/台）

A

4000

4500

B

3600

4000

(1)、若售完100台电脑获利46000元，应购进A、B两种型号电脑各多少台？

(2)、若A型电脑的进货量不超过B型电脑的2倍，那么该电脑城应购进A、B两种型号的电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？

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22.

(1)、
问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB ， OC=OD ， ∠AOB=∠COD=36°，连接AC ， BD交于点M ．
① $\frac{A C}{B D}$ 的值为；
②∠AMB的度数为；

(2)、类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC ，交BD的延长线于点M ．请计算 $\frac{A C}{B D}$ 的值及∠AMB的度数．

(3)、拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC ， BD所在直线交于点M ．若OD=1，OB= $\sqrt{13}$ ，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，直线x=-2与x轴交与点C ，与抛物线y=-x²+bx+c交于点A ，此抛物线与x轴的正半轴交于点B（1，0），且AC=2BC ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D ，交线段AB于点E ，使DE=3PE ．
①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M ，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．

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电脑型号	进价（元/台）	售价（元/台）
A	4000	4500
B	3600	4000