江苏省无锡市新吴区2019届九年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-04-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. ﹣3的相反数是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- 3$ D、 $3$

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2. 函数 y＝ $\sqrt{x - 2}$ 中自变量x的取值范围为（）

A、x＞2 B、x≥2 C、x＜2 D、x≤2

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3. 下列计算中正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = 2 a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ D、 ${(a^{3})}^{2} = a^{9}$

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4. 计算 ${(- \frac{1}{2})}^{- 1}$ 的结果是（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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5. 如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若 $∠ 1 = 30^{0}$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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6. 若圆锥的主视图是边长为 $4 c m$ 的等边三角形，则该圆锥俯视图的面积是（）

A、 $4 π c m^{2}$ B、 $8 π c m^{2}$ C、 $12 π c m^{2}$ D、 $16 π c m^{2}$

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7. 如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点D，以OC为半径的 $\overset{⌢}{C E}$ 交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）

A、12π+18 $\sqrt{3}$ B、12π+36 $\sqrt{3}$ C、6π+18 $\sqrt{3}$ D、6π+36 $\sqrt{3}$

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8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）

A、 $\frac{13}{3}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{4 \sqrt{13}}{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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9. 若 $\min {a ， b ， c}$ 表示 $a ， b ， c$ 三个数中的最小值，当 $y = \min {x^{2} ， x + 2 ， 8 - x}$ 时 $(x \geq 0)$ ，则 $y$ 的最大值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、填空题

10. 近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点.为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班的学生成绩统计如下：

成绩（分）

60

70

80

90

100

人数

4

8

12

11

5

则该办学生成绩的众数和中位数分别是（）

A、70分，80分 B、80分，80分 C、90分，80分 D、80分，90分

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11. 分解因式： $a^{2} - 4 =$ .

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12. 2019年我国大学毕业生将达到8340000人，该数据用科学记数法可表示为.

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13. 已知反比例函数的图象经过点（m，4）和点（8，－2），则m的值为．

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14. 一个扇形的圆心角为60°半径为6cm，则这个扇形的弧长为 cm．（结果保留π）

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15. 若两个数 $a$ 与 $b$ 在数轴上对应的点为点 $A$ 与点 $B$ ，则比较 $- a$ $- b$ .（填“>”或“<”）

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16. 如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是.

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17. 在平面直角坐标系中，已知 $A (2 ， 0) ， B (2 ， 2) ， C (0 ， 2)$ ，动点 $E$ 从点 $C$ 出发，以每秒1个单位的速度向下运动，动点 $F$ 从点 $A$ 出发，以每秒1个单位的速度向右运动，过点 $A$ 作 $B F$ 的平行线交 $B E$ 于点 $P$ ，当 $P O$ 的值最小时，此时 $t =$ 秒.

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三、解答题

18. 在 $Δ A B C$ 中，点 $D 、 E$ 是 $A B 、 A C$ 两边的中点，点 $F$ 是 $B C$ 边上的一个动点，如 $S_{Δ A B C} = 16$ ，则 $S_{Δ D E F} =$ 。

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19. 计算：

(1)、 ${(- 3)}^{2} - {(π - 4)}^{0} + | - 4 |$ ；

(2)、 $(1 + \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 1}{a}$

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20.

(1)、解方程： $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{matrix} x - 1 > 2 x \\ \frac{1}{2} x + 3 \leq - 1 \end{matrix}$ .

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21. 某厂生产A，B两种产品.其单价随市场变化而做相应调整.营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表及不完整的折线图：

A，B产品单价变化统计表

	第一次	第二次	第三次
A产品单价（元/件）	6	5.2	6.5
B产品单价（元/件）	3.5	4	3

并求得A产品三次单价的平均数和方差：

${\bar{x}}_{A} = 5.9$ ： $s_{A}^{2} = \frac{1}{3} [{(6 - 5.9)}^{2} + {(5.2 - 5.9)}^{2} + {(6.5 - 5.9)}^{2}] = \frac{43}{150}$ .

(1)、补全图中B产品单价变化的折线图.B产品第三次的单价比上一次的单价降低了百分之几？

(2)、求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小：

(3)、该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6.5元/件，B产品的单价比3元/件上调m%（m＞0），使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1.求m的值.

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22. 如图， $⊙ O$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆，分别过 $A 、 C$ 两点作 $⊙ O$ 的两条切线 $A D 、 C D$ ，它们的交点为 $D$ ，且 $A D / / B C ， C D / / A B$ .

(1)、试说明四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径是2，求四边形 $A B C D$ 的面积.

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23. 如图，管中放置着三根同样的绳子AA₁、BB₁、CC₁；

(1)、小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA₁的概率是多少？

(2)、小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A₁、B₁、C₁三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率.

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24. 如图，在由边长为1的小正方形组成的8×8的网格图中有两个格点 $A 、 B$ .（注：网格线交点称为格点）

(1)、请直接写出 $A B$ 的长：；

(2)、请在图中确定格点 $C$ ，使得 $Δ A B C$ 的面积为10.如果符合题意的格点 $C$ 不止一个，请分别用 $C_{1} 、 C_{2} 、 C_{3}$ ，…表示；

(3)、请用无刻度的直尺在图中以 $A B$ 为一边画一个面积为14的矩形 $A B M N$ .（不要求写画法，但要保留画图痕迹）

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25. 如图， $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ $， C A = C B$ ，过点 $C$ 在 $Δ A B C$ 外作射线 $C E$ ，且 $∠ B C E = α$ .

(1)、操作并计算：利用无刻度的直尺和圆规，在图（1）中完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）.
①作点 $B$ 关于 $C E$ 的对称点 $D$ ；

②连接 $A D 、 B D 、 C D$ ，其中 $A D 、 B D$ 分别交 $C E$ 于点 $M 、 N$ ；

③当 $α =$ $30 °$ 时，求 $∠ A M C$ 的度数。

(2)、发现：当 $0 < a <$ $90 °$ 时， $∠ A M C$ 的度数是否发生变化？若没有变化，请直接写出 $∠ A M C$ 的度数；若发生变化，请在备用图中画出相应的示意图，并直接写出你的结论（无需证明）；

(3)、探究：在（2）的条件下，当 $0 < α <$ 45°时，用等式表示线段 $A M 、 C N$ 之间的数量关系，并证明.

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26. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a$ （ $a$ 为常数，且 $a > 0$ ）与 $x$ 轴从左至右依次交于 $A ， B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，经过点 $B$ 的直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + b$ 与抛物线的另一交点为 $D$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，且 $D E ： B E = 2 ： 3$ .

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、设 $P$ 为线段 $B D$ 上一点（不含端点），连接 $A P$ ，一动点 $M$ 从点 $A$ 出发，沿线段 $A P$ 以每秒1个单位的速度运动到 $P$ ，再沿线段 $P D$ 以每秒2个单位的速度运动到 $D$ 后停止.当点 $P$ 的坐标是多少时，点 $M$ 在整个运动过程中用时最少？

(3)、将 $Δ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α (0^{0} < α < 180^{0})$ ，当点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ 落在 $Δ E C B$ 的边所在直线上时，求此时点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 的坐标.

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成绩（分）	60	70	80	90	100
人数	4	8	12	11	5