人教A版（2019）数学必修第二册第七章复数

试卷更新日期：2020-04-19 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 复数 $z$ 满足 $| z | + (z - 1) i = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + \frac{3}{4} i$ B、 $1 - \frac{3}{4} i$ C、 $2 \sqrt{2} +i$ D、 $2 \sqrt{2} - i$

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2. 设复数 $z = \frac{2 i}{1 + i} - 3 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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3. 已知 $a, b \in R$ ，复数 $z_{1} = - a + b i$ ， $z_{2} = (b + 4) + (a - 2) i$ 在复平面内对应的点重合，则（）

A、 $a = - 1$ ， $b = - 3$ B、 $a = 3$ ， $b = - 1$ C、 $a = 2$ ， $b = - 2$ D、 $a = - 2$ ， $b = 2$

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4. 已知 $z = 1 - i^{2020}$ ，则 $| z + 2 i | =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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5. 已知复数 $z (1 + i) = 3 + i$ ，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数所对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 已知复数 $z$ 在复平面中对应的点 $(x, y)$ 满足 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，则 $| z - 1 | =$ （）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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7. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = \frac{4 i}{{(1 - i)}^{2}} + i^{2019}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. $i$ 为虚数单位，则 $i + 2 i^{2} + 3 i^{3} + \cdot \cdot \cdot + 2018 i^{2018} =$ （）

A、 $- 2018 + 2017 i$ B、 $1008 - 1008 i$ C、 $- 1010 + 1009 i$ D、 $1010 - 1009 i$

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9. 若复数 $z = m^{2} - 1 + (m + 1) i$ 是纯虚数，其中 $m$ 是实数，则 $\frac{2}{z} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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10. 已知i是虚数单位，则复数 $z = {(\frac{1 + i}{\sqrt{2}})}^{2017}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11. 设a，b为实数，若复数 $\frac{1 + 2 i}{a + b i} = 1 + i$ ，则（）

A、 $a = \frac{3}{2} ， b = \frac{1}{2}$ B、a=3，b=1 C、 $a = \frac{1}{2} ， b = \frac{3}{2}$ D、a=1，b=3

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12. 若复数 $z = (\sin θ - \frac{3}{5}) + (\cos θ - \frac{4}{5}) i$ 是纯虚数，则 $\tan (θ - \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、-7 B、 $- \frac{1}{7}$ C、7 D、-7 或 $- \frac{1}{7}$

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二、填空题

13. $i$ 是虚数单位,则 $| \frac{2 + i}{1 - i} |$ 的值为.

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14. 若复数z满足 |z－i|≤ $\sqrt{2}$ (i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为．

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15. 若复数 $\frac{2 + a i}{1 - i}$ （ $a \in R$ ）是纯虚数（ $i$ 是虚数单位），则复数 $z = a + (a - 3) i$ 在复平面内对应的点位于第象限．

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16. 已知复数 $z = x + y i (x ， y \in R)$ ，且 $| z - 2 | = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = m - 2 i$ ，复数 $z_{2} = 1 - n i$ ，其中 $i$ 是虚数单位， $m$ ， $n$ 为实数．

(1)、若 $n = 1$ ， $z_{1}$ 为纯虚数，求 $| z_{1} + z_{2} |$ ；

(2)、若 $z_{1} = {({\bar{z}}_{2})}^{2}$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

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18. 已知复数 $z_{1} = \sqrt{3} + i$ ， $z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ .

(1)、求 $| z_{1} |$ 及 $| z_{2} |$ 并比较大小；

(2)、设 $z \in C$ ，满足条件 $| z_{2} | \leq | z | \leq | z_{1} |$ 的点 $Z$ 的轨迹是什么图形？

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19. 已知 $z$ 是复数， $z + 2 i$ 与 $\frac{z}{2 - i}$ 均为实数.

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、复数 ${(z + a i)}^{2}$ 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 设f(z)＝z－2i，z₁＝3＋4i，z₂＝－2－i.
求：

(1)、f(z₁－z₂)的值；

(2)、f(z₁＋z₂)的值．

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21. 已知z=1+i，a，b为实数．

(1)、若ω=z²+3 $\bar{z}$ ﹣4，求|ω|；

(2)、若 $\frac{z^{2} + a z + b}{z^{2} - z + 1} - 1 - i$ ，求a，b的值．

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22. 已知复数z=lg（m²﹣2m﹣2）+（m²+3m+2）i，根据以下条件分别求实数m的值或范围．

(1)、z是纯虚数；

(2)、z对应的点在复平面的第二象限．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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