人教A版（2019）数学必修第二册第六章平面向量及其应用

试卷更新日期：2020-04-19 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} - \vec{b} = (1, - 5)$ ， $\vec{a} + 2 \vec{b} = (- 2, 1)$ 则 $\vec{b} =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(- 1, - 2)$

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2. 在 $Δ$ ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c.若 $A = \frac{π}{4}$ ， $a = \sqrt{5}$ ， $b = \sqrt{2}$ ，则 $Δ$ ABC的面积等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 在△ $A B C$ 中， $a = 4 ， A = 30^{\circ}$ ， $B = 60^{\circ}$ ，则 $b$ 等于（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $6$ C、 $\sqrt{3}$ D、9

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ＝(1，0)， $\vec{b}$ ＝(-3，4)的夹角为 $θ$ ，则sin2 $θ$ 等于（）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (m ， - 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、3 D、

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6. 已知向量 $\vec{a} = (x - 1, 2), \vec{b} = (2, 1)$ ,则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 的充要条件是（）

A、 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $x = - 1$ C、 $x = 5$ D、 $x = 0$

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7. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为60°， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{7}$ D、1

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8. 在 $Δ A B C$ 中， $A M$ 为 $B C$ 边上的中线，点 $N$ 满足 $\overset{⇀}{A N} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{N M}$ ，则 $\vec{B N} =$ （）

A、 $\frac{1}{6} \vec{A C} - \frac{5}{6} \vec{A B}$ B、 $\frac{5}{6} \vec{A C} - \frac{1}{6} \vec{A B}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{5}{6} \vec{A B}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{A C} + \frac{1}{6} \vec{A B}$

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9. 已知 $\vec{a} = (x, - 4, 2)$ ， $\vec{b} = (3, y, - 5)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的取值范围为（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $[4, + \infty)$ D、 $[5, + \infty)$

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10. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ ，那么 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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11. 已知非零向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{b} | = 4 | \overset{⇀}{a} |$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ (2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b})$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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12. $Δ A B C$ 中所在的平面上的点 $D$ 满足 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{A D} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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13. 若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 满足：| $\vec{a}$ |=2，| $\vec{b}$ |=3，且当λ∈R时，| $\vec{b} - λ \vec{a}$ |的最小值为2 $\sqrt{2}$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向上的投影为（）

A、1 或2 B、2 C、1 或3 D、3

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14. $Δ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $A C = 10$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 25$ ，点 $P$ 是 $Δ A B C$ 内（包括边界）的一动点，且 $\overset{⇀}{A P} = \frac{3}{5} \overset{⇀}{A B} - \frac{2}{5} λ \overset{⇀}{A C} (λ \in R)$ ，则 $| \vec{A P} |$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{41}$ B、 $\sqrt{39}$ C、3 D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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15. 蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离 $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ 的军事基地 $C$ 和 $D$ ，测得红军的两支精锐部队分别在 $A$ 处和 $B$ 处，且 $∠ A D B = 30 °$ ， $∠ B D C = 30 °$ ， $∠ D C A = 60 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4} a$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2} a$ C、 $\frac{3}{8} a$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} a$

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16. 一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8 $\sqrt{2}$ 海里，则灯塔S在B处的（）

A、北偏东75° B、北偏东75°或东偏南75° C、东偏南75° D、以上方位都不对

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二、填空题

17. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (x, 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2, 1)$ ，且 $\overset{⇀}{a} // \overset{⇀}{b}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} | =$

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18. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，若 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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19. 如图，在单位圆 $C$ 中， $A$ 为圆上的一个定点， $B$ 为圆上的一个动点， $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的取值范围为.

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20. 如图所示，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $C B = 2$ ， $Δ A C D$ 为正三角形，则 $Δ B C D$ 面积的最大值为．

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三、解答题

21. 已知平面向量 $\vec{a} = (2, 2)$ , $\vec{b} = (x, - 1)$
（I）若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ,求 $x$ ；

（Ⅱ）若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ,求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 所成夹角的余弦值．

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22. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $\sqrt{3} a cos C = (2 b - \sqrt{3} c) cos A$
$($ Ⅰ $)$ 求角A的大小；

$($ Ⅱ $)$ 若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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23. 已知 $Δ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $A D$ 为角平分线．用向量的方法解答：

(1)、求 $A D$ 的长度；

(2)、过点 $D$ 作直线交 $A B ， A C$ 于不同两点 $E 、 F$ ，且满足 $\overset{⇀}{A E} = x \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{A F} = y \overset{⇀}{A C}$ ，求： $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的值，并说明理由．

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24. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ ， $c$ ，记 $\vec{m} = (2 sin B, - \sqrt{3})$ ， $\vec{n} = (cos 2 B, 2 {cos}^{2} \frac{B}{2} - 1)$ ，且 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ .

(1)、求锐角 $∠ B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2$ ，求 $S_{Δ A B C}$ 的最大值.

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人教A版（2019）数学必修第二册 第六章平面向量及其应用

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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