人教A版（2019）数学必修第二册 6.3平面向量基本定理及坐标表示

试卷更新日期：2020-04-19 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{2}, \vec{a} \cdot \vec{b} = - \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \sqrt{2} \vec{b}) =$ （）

A、4 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, - 2), \vec{b} = (1, 1)$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ＝（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、5

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (- 1, 2), \vec{c} = (k, 1)$ ，且 $(2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{c}$ ，则实数 $k =$ （）

A、 $- 4$ B、 $4$ C、 $0$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = \sqrt{2}, \vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， x) ， \vec{b} = (- 4 ， 4)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）．

A、 $0$ B、 $4$ C、 $- 4$ D、 $\pm 4$

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6. 设向量 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 5, 4)$ ，则 $3 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(- 8, 5)$ B、 $(2, 5)$ C、 $(2, 13)$ D、 $(- 2, 8)$

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7. 已知锐角 $Δ A B C$ 的外接圆的圆心为 $O$ ，半径为 $\sqrt{2}$ ，且 $\vec{O B} \cdot \vec{O C} = - 1$ ，则 $A$ 等于（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{12}$

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8. 在 $Δ A B C$ 中， $A B$ 的中点为 $D$ ， $C D$ 的中点为 $E$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$

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9. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，且 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $| 2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = \sqrt{13}$ ， $| \overset{⇀}{b} | \geq | \overset{⇀}{a} |$ ，则 $| \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、 $3$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $4$

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10. 如图，在等腰直角 $Δ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别为斜边 $B C$ 的三等分点（ $D$ 靠近点 $B$ ），过 $E$ 作 $A D$ 的垂线，垂足为 $F$ ，则 $\overset{⇀}{A F} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{5} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{2}{5} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{5} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{4}{15} \overset{⇀}{A B} + \frac{8}{15} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{8}{15} \overset{⇀}{A B} + \frac{4}{15} \overset{⇀}{A C}$

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11. 如图，四边形 ABCD 中， $\vec{A B} = 2 \vec{D C}$ ，E为线段 AC 上的一点，若 $\vec{D E} = λ \vec{A B} - \frac{3}{5} \vec{A D}$ ，则实数 $λ$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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12. 已知向量 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ 满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，点 $C$ 在 $∠ A O B$ 内，且 $∠ A O C = 30^{°}$ ，设 $\vec{O C} = m \vec{O A} + n \vec{O B} (m ， n \in R)$ ，若 $\frac{| \vec{O A} |}{| \vec{O B} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{m}{n} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 5$ ，点 $N$ 满足 $\overset{⇀}{B N} = 2 \overset{⇀}{N C}$ ，点 $O$ 为 $Δ A B C$ 的外心，则 $\overset{⇀}{A N} \cdot \overset{⇀}{A O}$ 的值为（）

A、17 B、10 C、 $\frac{17}{2}$ D、 $\frac{59}{6}$

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14. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{2}{3} \vec{N C}$ ， $P$ 是 $B N$ 上一点，若 $\vec{A P} = t \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题

15. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $\vec{b} = (- \sqrt{3}, m)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则实数 $m =$ .

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16. 已知向量 $\vec{a} =$ （1，1）， $\vec{b} =$ （﹣1，3）， $\vec{c} =$ （2，1），且（ $\vec{a} - λ \vec{b}$ ）∥ $\vec{c}$ ，则λ＝.

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17. 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点， $A D = \frac{1}{2} A B ， B E = \frac{2}{3} B C$ ，若 $\vec{D E} = λ_{1} \vec{C B} + λ_{2} \vec{C A}$ （λ₁ ， λ₂为实数），则λ₁+λ₂＝．

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18. 已知向量 $a = (1, λ), b = (3, 1)$ ，若向量 $2 a - b$ 与 $c = (1, 2)$ 共线，则向量 $a$ 在向量 $c$ 放向上的投影为．

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19. 已知两个单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为．

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20. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量 $\vec{A C} = λ \vec{D E} + μ \vec{A P}$ ，则λ+μ的最小值为．

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三、解答题

21. 如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，A = 60°，D 为线段 BC 中点，E为线段AD中点.

(1)、求 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的值；

(2)、求 $\vec{E B} \cdot \vec{E C}$ 的值.

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22. 设两个向量 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ ，满足 $| e_{1} | = 2$ ， $| e_{2} | = 1$ ， $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 的夹角为 $60 °$ ，若向量 $2 t$ $e_{1} + 7 e_{2}$ 与向量 $e_{1} +$ $t$ $e_{2}$ 的夹角为钝角，求实数 $t$ 的取值范围.

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23. 已知平面向量 $\vec{a}$ =（1，x）， $\vec{b}$ =（2x+3，﹣x）（x∈R）．

(1)、若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，求| $\vec{a} - \vec{b}$ |

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角，求x的取值范围．

(3)、若| $\vec{a}$ |=2，求与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量 $\vec{c}$ 的坐标．

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24. 已知三个点A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．

(1)、求证： $\vec{A B} ⊥ \vec{A D}$ ；

(2)、要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．

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