西藏自治区日喀则市三校2019-2020学年高三上学期文数11月月考试卷

试卷更新日期：2020-04-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x = 0}$ ， $B = {0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${0, 2}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(3 - 4 i ） z = | 4 + 3 i |$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、-4 B、 $- \frac{4}{5}$ C、4 D、 $\frac{4}{5}$

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3. 已知 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\sin^{4} α - \cos^{4} α$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上的一点 $P$ 到椭圆一个焦点的距离为 $3$ ，则 $P$ 到另一焦点距离（）

A、2 B、3 C、5 D、7

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5. 已知| $\vec{a}$ |＝1，| $\vec{b}$ |＝ $\sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6. 若 $a, b, c$ 是 $Δ A B C$ 的三个内角的对边，且 $c \sin C = 3 a \sin A + 3 b \sin B$ ,则圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} = 12$ 被直线 $l$ ： $a x - b y + c = 0$ 所截得的弦长为（）

A、 $4 \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、6 D、5

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7. 若实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{cases} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x \leq 0 \end{cases}$ 则 $z = 3^{x + 2 y}$ 的最小值是（）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{3}$ . D、9

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8. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \ln (1 + \frac{1}{n})$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $2 + \ln n$ B、 $2 + (n - 1) \ln n$ C、 $a_{8}$ D、 $1 + n + \ln n$

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9. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3, x \leq 0 \\ - 2 + \ln x, x > 0 \end{array}$ , 则 $f (f (1)) =$ （）

A、-3 B、-2 C、-1 D、0

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10. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S为 $\frac{11}{12}$ ，则判断框中填写的内容可以是（）

A、 $n = 6$ B、 $n < 6$ C、 $n \leq 6$ D、 $n \leq 8$

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11. 抛物线 $y = 4 x^{2}$ 上的一点 $M$ 到焦点的距离为1，则点 $M$ 的纵坐标是（）

A、 $\frac{17}{16}$ B、1 C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{15}{16}$

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12. 一只蚂蚁从正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 $A$ 出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点 $C_{1}$ 的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是（）

A、 $(1) (2)$ B、 $(1) (3)$ C、 $(3) (4)$ D、 $(2) (4)$

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二、填空题

13. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 a₄+a₈=16 ，则 $S_{11} =$ ．

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $a = 3 \sqrt{3}, c = 2, B = 150^{\circ}$ ，则 $b =$ .

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15. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集是.

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16. 过点 $(- 1, 3)$ 且平行于直线 $x - 2 y + 3 = 0$ 的直线方程为.

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (2 \sin x ， \sqrt{3} \cos x)$ ， $\vec{b} = (\sin x ， 2 \sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最大值与周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间.

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18. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和 $(n \in N^{*})$ ，且 $a_{3} = 5, S_{3} = 9.$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $= - \frac{a}{2} (b + 1) (2 b - 1) > 0$

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19. 对某电子元件进行寿命追踪调查，所得情况如下频率分布直方图.

(1)、图中纵坐标 $y_{0}$ 处刻度不清，根据图表所提供的数据还原 $y_{0}$ ；

(2)、根据图表的数据按分层抽样，抽取 $20$ 个元件，寿命为 $100 ~ 300$ 之间的应抽取几个；

(3)、从（2）中抽出的寿命落在 $100 ~ 300$ 之间的元件中任取 $2$ 个元件，求事件“恰好有一个寿命为 $100 ~ 200$ ，一个寿命为 $200 ~ 300$ ”的概率.

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20. 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2.0）为其右焦点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、是否存在平行于OA的直线L，使得直线L与椭圆C有公共点，且直线OA与L的距离等于4？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} + b$ $(x \neq 0)$ ，其中 $a ， b \in R$ ，

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (2 ， f (2))$ 处的切线方程为 $y = 3 x + 1$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性

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22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M ， N的极坐标分别为（2，0），（ $\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \frac{π}{2}$ ），圆C的参数方程 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 c o s θ \\ y = - \sqrt{3} + 2 s i n θ \end{array}$ （θ为参数）．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．

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23.

(1)、解不等式 $2 | x - 2 | - | x + 1 | > 3$ ；

(2)、设正数 $a, b, c$ 满足 $a b c = a + b + c$ ，求证： $a b + 4 b c + 9 a c \geq 36$ ，并给出等号成立条件.

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