陕西省西安市2019-2020学年高三上学期数学11月月考试卷

试卷更新日期：2020-04-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 15 \leq 0}, B = {x | - 2 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x \leq 3}$ B、 ${x | - 5 \leq x < 4}$ C、 ${x | - 5 \leq x \leq - 2}$ D、 ${x | 3 \leq x < 4}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(2 + 3 i) z = 13 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 3 + 2 i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $- 3 - 2 i$ D、 $3 - 2 i$

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3. 若向量 $\vec{a} = (1, 5), \vec{b} = (- 2, 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) =$ （）

A、30 B、31 C、32 D、33

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (x - 1), x > 1 \\ 3^{- x}, x \leq 1 \end{array}$ ，则 $f [f (- 2)]$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）

A、 $\frac{25}{7}, \frac{50}{7}, \frac{100}{7}$ B、 $\frac{25}{14}, \frac{25}{7}, \frac{50}{7}$ C、 $\frac{100}{7}, \frac{200}{7}, \frac{400}{7}$ D、 $\frac{50}{7}, \frac{100}{7}, \frac{200}{7}$

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6. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，则 $f (π) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$

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7. 若函数 $f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} + b$ 在 $x = 1$ 处取得极值2，则 $a - b =$ （）

A、-3 B、3 C、-2 D、2

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $16 \sqrt{3} + \frac{8 \sqrt{3} π}{3}$ B、 $16 \sqrt{3} + \frac{4 π}{3}$ C、 $\frac{16 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $16 \sqrt{3} + \frac{4 \sqrt{3} π}{3}$

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9. 设 $a = \log_{8} 0.2, b = \log_{0.3} 4, c = 4^{0.3}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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10. 给出下列三个命题：
①“ $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1 \leq 0$ ”的否定；

②在 $△ A B C$ 中，“ $B > 30^{°}$ ”是“ $\cos B < \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的充要条件；

③将函数 $y = 2 \cos 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = 2 \cos (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象．

其中假命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围（）

A、 $[\frac{2}{3} ， 2]$ B、 $(0 ， \frac{2}{3}]$ C、 $[\frac{2}{3} ， 1]$ D、 $(0 ， 2]$

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12. 已知函数 $f (x) = m e^{m x} - \ln x$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{e} ， e)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， e)$

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二、填空题

13. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 3 x - y - 2 \geq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \\ x + 4 y + 4 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为.

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14. 若函数 $f (x) = x^{2} + \frac{a x^{2}}{2^{x} + 1}$ 为奇函数，则 $a =$ .

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15. 记等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 5}{n + 7}$ ，则 $\frac{a_{7}}{b_{7}} =$ .

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16. 在平面五边形 $A B C D E$ 中， $∠ A = 60^{°}$ ， $A B = A E = 6 \sqrt{3}$ ， $B C ⊥ C D$ ， $D E ⊥ C D$ ，且 $B C = D E = 6$ .将五边形 $A B C D E$ 沿对角线 $B E$ 折起，使平面 $A B E$ 与平面 $B C D E$ 所成的二面角为 $120^{°}$ ，则沿对角线 $B E$ 折起后所得几何体的外接球的表面积是.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $a = \sqrt{3} b$ ，且 $(a - b + c) (\sin A - \sin B - \sin C) = c \sin C - 2 a \sin B$ .

(1)、求 $\cos C$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积是 $2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 已知首项为2的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{2 n a_{n} + 2^{n + 1}}{n + 1}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{n a_{n}}{2^{n}}}$ 是等差数列．

(2)、令 $b_{n} = a_{n} + n$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = (\frac{\sqrt{3}}{2} a + b) \sin x + (\frac{1}{2} a - \sqrt{3} b) \cos x$ ，且 $f (0) = - 1, f (\frac{π}{3}) = 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $g (x) = x^{2} - 2 x + m - 3 (1 < m \leq 4)$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0, π]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 2, m]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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20. 如图，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D / / B C ， A D = 2 A B = 2 B C = 4$ ，点 $E$ 为 $A D$ 的中点，以 $B E$ 为边作正方形 $B E F G$ ，且平面 $B E F G ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明：平面 $A C F ⊥$ 平面 $B E F G$ .

(2)、求二面角 $A - B F - D$ 的正弦值．

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21. 已知函数 $f (x) = m e^{x} - 2 x - m$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) > 0$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 5 x + 2 \ln x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 1$ .

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