陕西省渭南市韩城市教学研究室2019-2020学年高三上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2020-04-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合M＝{x|x²﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则M∪N＝（　　）

A、[﹣1，+∞） B、（﹣1，+∞） C、（2，3] D、（1，3）

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2. 若 $sin (\frac{π}{2} + α) = - \frac{3}{5}$ ，且 $α$ 为第二象限角，则 $tan α =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. 函数 $f (x) = e^{x} + x$ 的零点所在一个区间是（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, 2)$

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4. 设 $a = \log_{2} \frac{1}{3}$ ， $b = 2^{0.3}$ ， $c = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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5. 以下三个命题正确的个数有（）个.①若 $a^{2} + b^{2} \neq 5$ ，则 $a \neq 1$ 或 $b \neq 2$ ；②定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，函数 $f (x)$ 为奇函数是 $f (0) = 0$ 的充分不必要条件；③若 $x > 0$ ， $y > 0$ 且 $2 x + y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时 $f (x) = 3^{x} + m$ (m为常数)，则 $f (- {log}_{3} 5)$ 的值为（）

A、4 B、6 C、 $- 4$ D、 $- 6$

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7. 已知 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + (a + 6) x + 1$ 有极大值和极小值，则a的取值范围为（）

A、 $- 1 < a < 2$ B、 $- 3 < a < 2$ C、 $a < - 1$ 或 $a > 2$ D、 $a < - 3$ 或 $a > 6$

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8. 函数 $f (x) = \frac{\ln | x |}{1 + | x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 $tan α$ ， $\frac{1}{tan α}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - k x + k^{2} - 3 = 0$ 的两个实根，且 $3 π < α < \frac{7 π}{2}$ ，则 $cos α + sin α =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{3}$

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10. 已知命题“ $\exists x \in R$ ，使 $2 x^{2} + (a - 1) x + \frac{1}{2} \leq 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(- 3 ， + \infty)$ D、 $(- 3 ， 1)$

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11. 将函数 $f (x)$ 的图像上的所有点向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图像，若函数 $g (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = \sin (x + \frac{5 π}{12})$ B、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = \sin (2 x + \frac{5 π}{6})$ D、 $f (x) = \sin (2 x + \frac{7 π}{12})$

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12. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，函数 $f (x)$ 满足：当 $x > 0$ 时， $x \cdot f' (x) + f (x) > 0$ ，且 $f (1) = 2$ ．则不等式 $f (x) < \frac{2}{| x |}$ 的解集是（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1)$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \sin x$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (π + 2 Δ x) - f (π)}{Δ x} =$ .

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14. 若函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} + m x + 1$ 是R上的单调函数，则实数 $m$ 的取值范围是

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} \log_{2} x ， x > 0 \\ 4^{x} ， x \leq 0 \end{cases}$ 若函数 $g (x) = f (x) - k$ 存在两个零点，则实数 $k$ 的取值范围是

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16. 关于下列命题：①函数 $y = \tan x$ 在第一象限是增函数；②函数 $y = \cos 2 (\frac{π}{4} - x)$ 是偶函数；③函数 $y = 4 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的一个对称中心是 $(\frac{π}{6} ， 0)$ ；④函数 $y = \sin (x + \frac{π}{4})$ 在闭区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数； ⑤已知 $x^{2} + y^{2} = 1$ ， $x ， y \in R$ ，则 $x + 2 y$ 的最大值是 $\sqrt{5}$ ．写出所有正确的命题的题号.

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三、解答题

17. 已知角 $α$ 的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P (- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ ．

(1)、求 $\tan 2 α$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 \sin (π - α) + 3 \cos (- α)}{3 \cos (\frac{π}{2} - α) + \sin (\frac{π}{2} + α)}$ 的值；

(3)、若角 $β$ 满足 $\sin (α + β) = \frac{5}{13}$ ，求 $\cos β$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ．

(1)、求点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[2, 3]$ 上的最值．

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19. 已知函数 $f (x) = - 2 \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 1$ ．
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期及对称中心；

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20. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | x - 1 |$ ， $a \in R$

(1)、当 $a = 3$ 时，求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) < 2$ 的解集为空集，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 4 ρ \cos θ = 3$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $P (1, 2)$ ，求 $| P A | \cdot | P B |$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x$ （其中 $a \in R$ ，且 $a \neq 0$ ）.

(1)、当 $a > 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

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