陕西省安康市2019-2020学年高三上学期文数12月阶段性考试试卷

试卷更新日期：2020-04-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若复数 $z = {(\frac{1 + i}{1 - i})}^{2}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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2. 设集合 $A = {- 2, 2, 4}$ ， $B = {x | x^{2} = 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${4}$ B、 ${2}$ C、 ${2, 4}$ D、 ${- 2, 2}$

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3. 《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 若α是第二象限角，且 $\sin α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $- \sqrt{5}$ B、 $- \sqrt{6}$ C、 $- \sqrt{7}$ D、 $- 2 \sqrt{2}$

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5. 已知 $a = \log_{3} 0.5$ ， $b = \log_{0.5} 0.6$ ， $c = 3^{0.2}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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6. 已知 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} y ⩽ x \\ x + y ⩾ 2 \\ x ⩽ 2 \end{array}$ ，则 $z = - 2 x + y$ 的最大值为（）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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7. 函数 $y = \frac{x + \sin x}{1 + x^{2}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 执行如图所示的程序框图，输出 $n$ 的值为（）

A、32 B、33 C、31 D、34

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9. 若曲线 $f (x) = (a x - 1) e^{x - 2}$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线过点 $(3, 3)$ ，则函数 $f (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 2)$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = 2$ ， $n \in N_{+}$ ，则数列 ${b_{a_{n}} + \frac{1}{30}}$ 的前10项的和为（）

A、 $\frac{1}{3} (4^{10} - 1)$ B、 $\frac{1}{3} (4^{9} - 1)$ C、 $\frac{4^{10}}{3}$ D、 $\frac{4^{9}}{3}$

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11. 向量 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} - \vec{b} |$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、0

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12. 已知函数 $f (x) = a x - x^{2}$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} a x - x^{2}, x \geq 0 \\ a - 2 x, x < 0 \end{array}$ ，若方程 $g (f (x)) = 0$ 有四个不等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4, 0)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$

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二、填空题

13. 已知 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 4 \leq 0 \\ x - 2 y ⩾ 2 \\ y ⩾ a x \end{array}$ ，若可行域为三角形，则 $a$ 的取值范围为．

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14. 某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在 $[80 ， 130]$ （单位：分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 2$ ， $B = \frac{π}{4}$ ， $\tan C = 7$ ，则 $b =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x + 2 \cos x$ ，则 $f (x)$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{3} + a_{9} = a_{12}$ ， $S_{5} = 15$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{a_{1}} + 2^{a_{2}} + 2^{a_{3}} + \dots + 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知 $\vec{a} = (\cos \frac{x}{2}, \sin \frac{x}{2})$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ .

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $\sin x (\cos x + 3 \sin x)$ 的值；

(2)、若 $f (x) = {(\vec{a} + \vec{b})}^{2} + 2 \sin \frac{x}{2}$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的表达式及 $g (x)$ 的最小正周期.

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a + b = \sqrt{3} c$ ， $2 \sin^{2} C = 3 \sin A \sin B$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、设 $P (- 1, \cos A)$ ， $Q (- \cos A, 1)$ ，且 $A \leq C$ ， $\vec{O P}$ 与 $\vec{O Q}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $\cos θ$ 的值.

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20. 某单位40岁以上的女性职工共有60人，为了调查一下体重和年龄的关系，将这60人随机按1～60编号，用系统抽样的方法从中抽取10人，测量一下体重.

(1)、若被抽出的号码其中一个为7，则最后被抽出的号码是多少？

(2)、被抽取的10个人的体重（单位： $k g$ ），用茎叶图表示如图，求这10人体重的中位数与平均数；

(3)、从这10个人中体重超过 $70 k g$ 的人中随机抽取2人，参加健康指导培训，求体重为 $81 k g$ 的人被抽到的概率.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的图象在点 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) - 1 \leq x^{3} + m$ 在 $x \in [0 ， 2]$ 上有解，求 $m$ 的取值范围；

(3)、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数， ${f^{'}}^{'} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导函数，若函数 ${f^{'}}^{'} (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，则点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 恰好就是该函数 $f (x)$ 的对称中心.试求 $f (\frac{1}{1010}) + f (\frac{2}{1010}) + \dots + f (\frac{2018}{1010}) + f (\frac{2019}{1010})$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | - | x |$ .

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) + f (x - 1) < 1$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) - f (x - 1) < m - 2 | x |$ 有解，求 $m$ 的取值范围.

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23. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sin θ + \cos θ \\ y = 1 + \sin 2 θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $M$ 的极坐标方程为 $ρ = \sqrt{2}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设曲线 $C$ 与曲线 $M$ 交于点 $A$ ， $B$ ，求 $| A B |$ 的长.

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