陕西省安康市2019-2020学年高三上学期理数12月阶段性考试试卷

试卷更新日期：2020-04-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若复数 $z = {(\frac{1 + i}{1 - i})}^{2}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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2. 设集合 $A = {- 2 ， 2 ， 4}$ ， $B = {x | x^{2} = 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${4}$ B、 ${2}$ C、 ${2 ， 4}$ D、 ${- 2 ， 2}$

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3. 《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 若α是第二象限角，且 $\sin α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $- \sqrt{5}$ B、 $- \sqrt{6}$ C、 $- \sqrt{7}$ D、 $- 2 \sqrt{2}$

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5. 已知 $a = \log_{3} 0.5$ ， $b = \log_{0.5} 0.6$ ， $c = 3^{0.2}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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6. 已知 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} y ⩽ x \\ x + y ⩾ 2 \\ x ⩽ 2 \end{array}$ ，则 $z = - 2 x + y$ 的最大值为（）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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7. 函数 $y = \frac{x + \sin x}{1 + x^{2}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 执行如图所示的程序框图，输出 $n$ 的值为（）

A、32 B、33 C、31 D、34

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9. 若曲线 $f (x) = (a x - 1) e^{x - 2}$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线过点 $(3 ， 3)$ ，则函数 $f (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2)$

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10. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} = 1$ ， $S_{30} = 7$ ，则 $S_{40} =$ （）

A、5 B、10 C、15 D、-20

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11. 向量 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} - \vec{b} |$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、0

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12. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若满足：① $f (x)$ 在 $D$ 内是单调增函数；②存在 $[m ， n] \subseteq D (n > m)$ ，使得 $f (x)$ 在 $[m ， n]$ 上的值域为 $[m ， n]$ ，那么就称 $y = f (x)$ 是定义域为 $D$ 的“成功函数”.若函数 $g (x) = \log_{a} (a^{2 x} + t)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）是定义域为 $R$ 的“成功函数”，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $0 < t < \frac{1}{4}$ B、 $0 < t \leq \frac{1}{4}$ C、 $t < \frac{1}{4}$ D、 $t > \frac{1}{4}$

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二、填空题

13. 若 $\int_{- 1}^{1} (a - x^{2}) d x = \frac{4}{3}$ ，则 $a =$ .

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14. 某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在 $[80 ， 130]$ （单位：分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 2$ ， $B = \frac{π}{4}$ ， $\tan C = 7$ ，则 $b =$ ．

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16. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作 $a_{1} = 1$ ，第2个五角形数记作 $a_{2} = 5$ ，第3个五角形数记作 $a_{3} = 12$ ，第4个五角形数记作 $a_{4} = 22$ ，…，第 $n$ 个五角形数记作 $a_{n}$ ，已知 $a_{n} - a_{n - 1} = 3 n - 2 (n ⩾ 2)$ ，则前 $n$ 个五角形数中，实心点的总数为.[参考公式： $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ ]

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三、解答题

17. 已知 $p$ ：函数 $f (x) = x^{2} - (2 a + 4) x + 6$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上是增函数， $q$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + a x + 2 a - 3 > 0$ ，若 $p \land (\neg q)$ 是真命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知 $\vec{a} = (\cos x ， \sin x)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ .

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $\sin x (\cos x + 3 \sin x)$ 的值；

(2)、若 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \sin x$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后，得到 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 及 $g (x)$ 的最小正周期.

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a + b = \sqrt{3} c$ ， $2 \sin^{2} C = 3 \sin A \sin B$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、设 $P (- 1 ， \cos A)$ ， $Q (- \cos A ， 1)$ ，且 $A \leq C$ ， $\vec{O P}$ 与 $\vec{O Q}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $\cos θ$ 的值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列.

(1)、求证： ${(a_{n + 1})}^{2} ⩾ a_{n} a_{n + 2}$ ；

(2)、设 $a_{n} = 2 n - 1$ ，且其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ， ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 2$ .

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - e x$ .

(1)、若 $a < e$ ，试判断函数 $f (x)$ 是否存在零点，并说明理由；

(2)、若 $a = e$ ， $x > - 1$ ，对 $\forall t \in R$ ， $f (t) ⩾ (x + 1) t - e t + y$ 恒成立，求 $(x + 1) y$ 的最大值.

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22. 在平面直角坐标系中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\cos (θ + \frac{π}{4}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 ρ}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $A$ 、 $B$ 是直线 $l$ 上的动点，且 $| A B | = 2$ ， $M (0 ， 1)$ ，求 $△ M A B$ 的面积.

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23. 已知 $f (x) = | a x + 1 | + | 2 x - 1 |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < 2 x + 1$ 的解集；

(2)、证明：当 $a \in (0 ， 1)$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) > 1$ 恒成立.

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