北京2020年中考数学实战模拟测试卷三

试卷更新日期：2020-04-16 类型：中考模拟

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一、选择题（本题共16分,每小题2分,第1-8题均有四个选。正确选项只有一个。）

1. 天文单位是天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球与太阳之间的平均距离，即149597870700m，约为149600000km.将数149600000用科学记数法表示为（）

A、 $14.96 \times 10^{7}$ B、 $1.496 \times 10^{7}$ C、 $14.96 \times 10^{8}$ D、 $1.496 \times 10^{8}$

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2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、赵爽弦图 B、笛卡尔心形线 C、科克曲线 D、斐波那契螺旋线

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3. 如图，在 $⊙ O$ 中， $∠ B A C = 15 °$ ， $∠ A D C = 20 °$ ，则 $∠ A B O$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A、 $70 °$ B、 $55 °$ C、 $45 °$ D、 $35 °$

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4. 关于的不等式 $2 x + a ⩽ 1$ 只有2个正整数解，则的取值范围为 $($ 　　 $)$

A、 $- 5 < a < - 3$ B、 $- 5 ⩽ a < - 3$ C、 $- 5 < a ⩽ - 3$ D、 $- 5 ⩽ a ⩽ - 3$

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5. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B D C = 47^{°} 42^{'}$ ，依据尺规作图的痕迹，计算 $α$ 的度数是（）

A、67°29′ B、67°9′ C、66°29′ D、66°9′

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6. 化简 $(a - \frac{b^{2}}{a}) \div \frac{a - b}{a}$ 的结果是 $($ 　　 $)$

A、 $a - b$ B、 $a + b$ C、 $\frac{1}{a - b}$ D、 $\frac{1}{a + b}$

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7. 下列说法正确是 $($ 　　 $)$
①函数 $y = \sqrt{\frac{1}{3 x + 1}}$ 中自变量的取值范围是 $x ⩾ \frac{1}{3}$ ．

②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7．

③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．

④同旁内角互补是真命题．

⑤关于的一元二次方程 $x^{2} - (k + 3) x + k = 0$ 有两个不相等的实数根．

A、①②③ B、①④⑤ C、②④ D、③⑤

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8. 根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法不正确是 $($ 　　 $)$

A、扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比 B、每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过 $50 %$ C、每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占 $20 %$ D、每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是 $108 °$

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二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）

9. 若分式 $\frac{\sqrt{3}}{x - 4}$ 有意义，则的取值范围是．

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10. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点 $A$ 的坐标为 $(5 ， 0)$ ，点 $B$ 在轴的上方， $Δ O A B$ 的面积为 $\frac{15}{2}$ ，则 $Δ O A B$ 内部（不含边界）的整点的个数为．

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11. 如图是一个多面体的表面展开图，如果面 $F$ 在前面，从左面看是面 $B$ ，那么从上面看是面．（填字母）

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12. 如图， $Δ A B C ≅$ △ $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，其中 $∠ A = 36 °$ ， $∠ C^{'} = 24 °$ ，则 $∠ B =$ ．

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13. 如图，过点 $C (3 ， 4)$ 的直线 $y = 2 x + b$ 交轴于点 $A$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = C B$ ，曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 过点 $B$ ，将点 $A$ 沿 $y$ 轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，则的值为．

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14. 三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点 $C$ 在 $F D$ 的延长线上，点 $B$ 在 $E D$ 上， $A B / / C F$ ， $∠ F = ∠ A C B = 90 °$ ， $∠ E = 45 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $A C = 10$ ，则 $C D$ 的长度是．

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15. 小刘和小李参加射击训练，各射击10次的平均成绩相同，如果他们射击成绩的方差分别是S_小刘²＝0.6，S_小李²＝1.4，那么两人中射击成绩比较稳定的是；

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16. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 4 \sqrt{5}$ ， $D$ 为边 $A B$ 上一动点 $(B$ 点除外），以 $C D$ 为一边作正方形 $C D E F$ ，连接 $B E$ ，则 $Δ B D E$ 面积的最大值为．

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三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）

17. 计算： ${(\sqrt{49} - 1)}^{0} + {(- \frac{1}{3})}^{- 1} + | \sqrt{2} - 1 | - 2 \cos 45 °$

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18. 解方程： $\frac{2}{x + 2} + 1 = \frac{x}{x - 1}$ .

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19. 关于的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 有实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、如果 $k$ 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + x + m - 3 = 0$ 与方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 有一个相同的根，求此时 $m$ 的值．

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 和点 $F$ 是对角线 $A C$ 上的两点， $A E = C F$ ， $D F = B E$ ，且 $D F / / B E$ ，过点 $C$ 作 $C G ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $G$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；

(2)、若 $\tan ∠ C A B = \frac{2}{5}$ ， $∠ C B G = 45 °$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ，则 $▱ A B C D$ 的面积是．

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21. 某商场统计了每个营业员在某月的销售额，绘制了如下统计图．

解答下列问题：

(1)、设营业员的月销售额为（单位：万元）．商场规定：当 $x < 15$ 时为不称职，当 $15 ⩽ x < 20$ 时为基本称职，当 $20 ⩽ x < 25$ 时为称职，当 $x ⩾ 25$ 时为优秀．试求出基本称职、称职两个层次营业员人数所占百分比，并补全扇形图；

(2)、根据（1）中规定，所有称职和优秀的营业员月销售额的中位数为，众数为；

(3)、为了调动营业员的积极性，商场制定月销售额奖励标准，凡达到或超过这个标准的受到奖励．如果要使称职和优秀的营业员半数左右能获奖，奖励标准应定为多少万元？简述理由．

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22. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $C D$ 是 $A B$ 边上的高， $B E$ 是 $A C$ 边上的中线，且 $B D = C E$ ．求证：

(1)、点 $D$ 在 $B E$ 的垂直平分线上；

(2)、 $∠ B E C = 3 ∠ A B E$ ．

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23. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设， $b$ ，为三角形三边， $S$ 为面积，则 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ①
这是中国古代数学的瑰宝之一．

而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 $p = \frac{a + b + c}{2}$ （周长的一半），则 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ②

(1)、尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；

(2)、问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从① $\Rightarrow$ ②或者② $\Rightarrow$ ① $)$ ；

(3)、问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图， $Δ A B C$ 的内切圆半径为，三角形三边长为， $b$ ，仍记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ， $S$ 为三角形面积，则 $S = p r$ ．

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24. 如图，是具有公共边 $A B$ 的两个直角三角形，其中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = ∠ A D B = 90 °$ ．

(1)、如图1，若延长 $D A$ 到点 $E$ ，使 $A E = B D$ ，连接 $C D$ ， $C E$ ．
①求证： $C D = C E$ ， $C D ⊥ C E$ ；

②求证： $A D + B D = \sqrt{2} C D$ ；

(2)、若 $Δ A B C$ 与 $Δ A B D$ 位置如图2所示，请直接写出线段 $A D$ ， $B D$ ， $C D$ 的数量关系．

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25. 在平面直角坐标系中，直线 $y = k x + 4 (k \neq 0)$ 交轴于点 $A (8 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ．

(1)、 $k$ 的值是；

(2)、点 $C$ 是直线 $A B$ 上的一个动点，点 $D$ 和点 $E$ 分别在轴和 $y$ 轴上．
①如图，点 $E$ 为线段 $O B$ 的中点，且四边形 $O C E D$ 是平行四边形时，求 $▱ O C E D$ 的周长；

②当 $C E$ 平行于轴， $C D$ 平行于 $y$ 轴时，连接 $D E$ ，若 $Δ C D E$ 的面积为 $\frac{33}{4}$ ，请直接写出点 $C$ 的坐标．

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26. 某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量 $y (k g)$ 与时间第 $t$ 天之间的函数关系式为 $y = 2 t + 100 (1 ⩽ t ⩽ 80$ ， $t$ 为整数），销售单价 $p$ （元 $/ k g)$ 与时间第 $t$ 天之间满足一次函数关系如下表：

时间第 $t$ 天

1

2

3

$\dots$

80

销售单价 $p /$ （元 $/ k g)$

49.5

49

48.5

$\dots$

10

(1)、直接写出销售单价 $p$ （元 $/ k g)$ 与时间第 $t$ 天之间的函数关系式．

(2)、在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

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27. 如图1， $A D$ 、 $B D$ 分别是 $Δ A B C$ 的内角 $∠ B A C$ 、 $∠ A B C$ 的平分线，过点 $A$ 作 $A E ⊥ A D$ ，交 $B D$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $∠ E = = \frac{1}{2} ∠ C$ ；

(2)、如图2，如果 $A E = A B$ ，且 $B D ： D E = 2 ： 3$ ，求 $\cos ∠ A B C$ 的值；

(3)、如果 $∠ A B C$ 是锐角，且 $Δ A B C$ 与 $Δ A D E$ 相似，求 $∠ A B C$ 的度数，并求出 $\frac{S_{Δ A D E}}{S_{Δ A B C}}$ 的值．

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28. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 的图象经过点 $C (0 ， - 2)$ ，顶点 $D$ 的坐标为 $(1 ， - \frac{8}{3})$ ，与轴交于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、连接 $A C$ ， $E$ 为直线 $A C$ 上一点，当 $Δ A O C ∽ Δ A E B$ 时，求点 $E$ 的坐标和 $\frac{A E}{A B}$ 的值．

(3)、点 $F (0 ， y)$ 是 $y$ 轴上一动点，当 $y$ 为何值时， $\frac{\sqrt{5}}{5} F C + B F$ 的值最小．并求出这个最小值．

(4)、点 $C$ 关于轴的对称点为 $H$ ，当 $\frac{\sqrt{5}}{5} F C + B F$ 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点 $Q$ ，使 $Δ Q H F$ 是直角三角形？若存在，请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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时间第 $t$ 天	1	2	3	$\dots$	80
销售单价 $p /$ （元 $/ k g)$	49.5	49	48.5	$\dots$	10