2020年高考数学二轮复习：17 不等式选讲

试卷更新日期：2020-04-15 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均为正实数.

(1)、若 $a b + b c + c a = 3$ ，求证： $a + b + c \geq 3$

(2)、若 $a + b = 1$ ，求证： $(\frac{1}{a^{2}} - 1) (\frac{1}{b^{2}} - 1) \geq 9$

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2. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | 2 x + 1 |$ ，记不等式 $f (x) < 4$ 的解集为 $M$ .

(1)、求 $M$ ；

(2)、设 $a, b \in M$ ，证明： $| a b | - | a | - | b | + 1 > 0$ .

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3. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x - b |$ .

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 1$ 时，求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集；

(2)、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $f (x)$ 的最小值为2，求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值.

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4. 回答下面问题

(1)、已知 $x, y \in R$ ,且 $| x + y | \leq \frac{1}{6}$ , $| x - y | \leq \frac{1}{4}$ ,求证： $| x + 5 y | \leq 1$ ．

(2)、已知实数 $a, b, c, d, e$ 满足 $a + b + c + d + e = 8$ , $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} = 16$ ,试确定 $e$ 的最大值．

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5. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | 3 x + 1 | - m$ ．

(1)、当 $m = 5$ 时，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若当 $x \neq \frac{1}{4}$ 时，不等式 $f (x) + \frac{16}{| 4 x - 1 |} > 0$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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6. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | x + 3 |$ ， $g (x) = | a - 1 | - a | x |$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域 $M$ ；

(2)、若函数 $g (x)$ 的值域为 $N$ ，且 $M \cap N \neq \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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7. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 的最小值记为 $m$ ，设 $a ， b \in R$ ，且有 $a^{2} + b^{2} = m$
证明： $\frac{1}{a^{2} + 1} + \frac{4}{b^{2} + 1} \geq \frac{18}{7}$ .

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8. 已知实数a，b，c满足a²+b²+c²＝3．

(1)、求证 $a + b + c \leq 3$ ；

(2)、求证 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 3$ ．

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9. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | - 2 | x |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 2$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 的最大值为 $m$ ， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为正数且 $a + b + c = m$ ，求证： $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 3$ ．

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10. 已知函数 $f (x) = | \frac{1}{x} - 1 | + \frac{1}{2} (x > 0)$ ．

(1)、若 $m > n > 0$ 时， $f (m) = f (n)$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值；

(2)、若 $m > n > 0$ 时，函数 $f (x)$ 的定义域与值域均为 $[n, m]$ ，求所有 $m, n$ 值．

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11. 已知关于 $x$ 的不等式 $| x + 1 | - | x - 3 | \geq | m - 2 | + m$ 有解.

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若正数 $a, b, c$ 满足 $2 a + b + c = 3$ ,求 $\frac{4}{a + b} + \frac{1}{a + c}$ 的最小值.

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12. 已知函数 $f (x) = | x - a |$ .

(1)、若不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集为 ${x | - 1 \leq x \leq 5}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，若存在 $x \in R$ 使得 $f (x) + f (x + 5) \leq m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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13. 设不等式 $- 2 < | x - 1 | - | x + 2 | < 0$ 的解集为M， $a, b \in M$ .

(1)、证明： $| \frac{1}{3} a + \frac{1}{6} b | < \frac{1}{4}$ ；

(2)、比较 $| 1 - 4 a b |$ 与 $2 | a - b |$ 的大小，并说明理由.

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14. 设函数 $f (x) = | x + 1 | + | x - a |$ .
（Ⅰ）当 $a = 2$ 时，解不等式： $f (x) \geq 5 x$ ；

（Ⅱ）若存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) - 2 < 0$ ，试求实数 $a$ 的取值范围.

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15. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 3 | - | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集；

(2)、设集合 $M$ 满足：当且仅当 $x \in M$ 时， $f (x) = | 3 x - 2 |$ ，若 $a, b \in M$ ，求证： $a^{2} - b^{2} + 2 a + 2 b \leq \frac{8}{3}$ .

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