安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二上学期理数冬季联赛试卷

试卷更新日期：2020-04-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq - 2}$ ， $B = {x \in N | x \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${2, - 1, 0, 1, 2}$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $\ln x < 0$ ”是“ $| x + 1 | < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 下列命题正确的是（）

A、若两个平面都垂直于第三个平面则这两个平面平行 B、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 C、若两个平面不平行，则两个平面内存在互相平行的直线 D、若一条直线不平行于一个平面，则这个平面内不存在与该直线平行的直线

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4. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的各棱长都相等，且 $\vec{A B} = 2 \vec{M B}$ ，则直线 $P A$ 与 $C M$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中曲线为半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（）

A、 $\frac{7 π}{2} + 6$ B、 $4 π + 6$ C、 $\frac{9 π}{2} + 4$ D、 $5 π + 4$

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6. 已知函数 $f (x) = \tan 2 x$ ，将函数 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到 $g (x)$ 的图象，若点 $A (a ， 0)$ 为函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心， $B (b ， 0)$ 为 $g (x)$ 图象的一个对称中心，则 $| a - b |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{m + n} = a_{m} a_{n} + a_{m} + a_{n} (m, n \in N^{*})$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、31 B、63 C、95 D、127

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8. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ , $B$ 分别为椭圆 $C$ 与 $x$ , $y$ 正半轴的交点，若直线 $A B$ 与以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆相切，则 $a^{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $1 + \sqrt{3}$ D、 $3 + \sqrt{5}$

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9. 已知 $e^{x} + e^{y} = 2$ ，则 $e^{- x} + e^{2 - y}$ 的最小值是（其中 $e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数）（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{{(e + 1)}^{2}}{2}$ D、 $e^{2} + 1$

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10. 已知圆 $C$ : $x^{2} + y^{2} - 4 y + a = 0$ 及点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 2)$ ．若在圆 $C$ 上有且仅有一个点 $P$ ，使得 ${| P A |}^{2} + {| P B |}^{2} = 12$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、0 B、3 C、0或3 D、 $- 5$ 或3

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11. 若定义域为 $R$ 的函数 $y = f (2 x - 1)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称， $g (x) = f (2 x) - 1$ ，则下列等式一定成立的是（）

A、 $g (0) = - 1$ B、 $g (0) = g (1)$ C、 $g (0) = g (2)$ D、 $g (0) + g (1) = 0$

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12. 已知函数 $f (x) = (\ln a x - 1) (x^{2} + a x - 4)$ ，若 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $2 e$ B、 $4 e$ C、 $\frac{e}{\sqrt{e - 2}}$ D、 $\frac{e}{\sqrt{4 - e}}$

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二、填空题

13. 若 $2 \sin (π + x) - \cos (x - \frac{π}{2}) = 1$ ，则 $\cos 2 x$ 的值等于．

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14. 若实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ 3 x + y \leq 4 \\ x + 3 y \geq 4 \end{array}$ ，且恒有 $a (x + 1) \geq y$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ , $\vec{c}$ 均为单位向量，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $| 3 \vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c} |$ 的最大值为．

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16. 棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别为 $A D$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，过点 $C$ ， $M$ ， $N$ 的平面把正方体分成两部分，则体积较大的那部分的体积为．

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三、解答题

17. 已知命题 $p$ ：“存在锐角使得不等式 $\sin θ - \sqrt{3} \cos θ \geq a$ 成立”，命题 $q$ ：“直线 $x + 2 a y = 0$ 与 $2 a x + y + 1 - 2 a = 0$ 平行”若 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. $Δ A B C$ 的内角 $A$ , $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ , $b$ , $c$ ，已知 $2 (a \cos B + b \cos A) = \frac{c}{\sin (C + 90 °)} ， c = 3$ ．

(1)、求 $∠ C$ ；

(2)、若 $D$ 是 $A B$ 中点，且 $C D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = 2 n - 1 (n \in N^{*})$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $S_{2 n}$ ；

(2)、若数列 $b_{n} = \frac{S_{2 n}}{n} \cdot 2 n$ ，求数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = C A = 2$ ， $A_{1} B_{1} = B B_{1} = C C_{1} = 1$ ， $B B_{1} ⊥ A B$ ， $C C_{1} ⊥ A C$ ．

(1)、求证： $A A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、求二面角 $A - B C - B_{1}$ 的余弦值．

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21.

(1)、已知 $a$ , $b$ , $m > 0$ ，试比较 $\frac{a}{b}$ 与 $\frac{a + m}{b + m}$ 的大小;

(2)、求证： ${(1 + \frac{1}{2 n})}^{n} < 2 (n \in N^{*})$ ．

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ , $F_{2}$ , $A$ , $B$ 为椭圆 $C$ 上的两动点，且以 $A$ , $B$ , $F_{1}$ ， $F_{2}$ 四个点为顶点的凸四边形的面积的最大值为 $a c$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的离心率；

(2)、若椭圆 $C$ 经过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且直线 $A B$ 的斜率是直线 $O A$ ， $O B$ 的斜率的等比中项，求 $Δ O A B$ 面积的取值范围．

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