2020年高考数学二轮复习：12 圆锥曲线的综合问题

试卷更新日期：2020-04-15 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 已知直线 $l_{1} : 3 x - y - 6 = 0$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ ，线段 $A B$ 的中垂线 $l_{2}$ 与抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有两个不同的交点 $C$ 、 $D$ ．

(1)、求 $p$ 的取值范围；

(2)、是否存在 $p$ ，使得 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点共圆，若存在，请求出 $p$ 的值，若不存在，请说明理由．

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2. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，且 $Δ M N F_{2}$ 的周长为 $16$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 分别交于 $A ， B$ 两点，且 $O A ⊥ O B$ ，试问点 $O$ 到直线 $A B$ 的距离是否为定值，证明你的结论．

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3. 已知点 $A, B$ 的坐标为 $(- \sqrt{2}, 0)$ ， $(\sqrt{2}, 0)$ ，直线 $A E$ ， $B E$ 相交于点 $E$ ，且它们的斜率之积是 $- \frac{1}{2}$ ．

(1)、求点 $E$ 的轨迹方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，过点 $F (- 1, 0)$ 的直线 $l$ 与点 $E$ 的轨迹交于 $M, N$ 两点，求 $△ M O N$ 的面积的最大值．

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4. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P $(1, \frac{3}{2})$ 在椭圆C上，O为坐标原点．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A ， B ，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

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5. 已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为（0，1）

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设直线l₂：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P ，且与直线l₁：y＝﹣1相交于点Q ，试问，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

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6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右焦点F到右准线的距离为3．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x²+y²＝a²截得的弦长为 $\sqrt{14}$ ，求△OPQ的面积．

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7. 如图，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的上顶点为 $A (0 ， 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若过点A作圆 $M ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ （圆 $M$ 在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C相交于B ， D两点(B ， D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上两个不同的点 $A$ ， $B$ 关于直线 $y = m x + \frac{1}{2}$ 对称．

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、求 $Δ A O B$ 面积的最大值（ $O$ 为坐标原点）．

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9. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $(2, \sqrt{2})$ 在 $C$ 上

(1)、求 $C$ 的方程

(2)、直线 $l$ 不过原点 $O$ 且不平行于坐标轴， $l$ 与 $C$ 有两个交点 $A, B$ ，线段 $A B$ 的中点为 $M$ .证明：直线 $O M$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率的乘积为定值.

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴顶点分别为 $A ， B$ ，且短轴长为 $2 ， T$ 为椭圆上异于 $A ， B$ 的任意一点，直线 $T A ， T B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{3}$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，圆 $O ： x^{2} + y^{2} = \frac{3}{4}$ 的切线 $l$ 与椭圆C相交于 $P ， Q$ 两点，求 $△ P O Q$ 面积的最大值.

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11. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点是 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，且过点 $A (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $B$ 、 $D$ 两点， $O$ 为坐标原点．问椭圆 $C$ 上是否存在点 $P$ ，使线段 $B D$ 和线段 $O P$ 相互平分？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，说明理由．

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点相同，F₁ ， F₂为C的左､右焦点，M为C上任意一点， $S_{Δ M F_{1}}_{F_{2}}$ 最大值为1.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、不过点F₂的直线l：y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A ， B两点.
①若 $k^{2} = \frac{1}{2}$ ，且 $S_{△ A O B} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求m的值.

②若x轴上任意一点到直线AF₂与BF₂距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.

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13. 已知点 $M (- 1, 0), N (1, 0)$ ，若点 $P (x, y)$ 满足 $| P M | + | P N | = 4$ .
（Ⅰ）求点 $P$ 的轨迹方程；

（Ⅱ）过点 $Q (- \sqrt{3}, 0)$ 的直线 $l$ 与（Ⅰ）中曲线相交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，求△ $A O B$ 面积的最大值及此时直线 $l$ 的方程.

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14. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点 $A (2, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设 $O$ 为原点，过点 $O$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于两点 $P$ 、 $Q$ ，直线 $A P$ 和 $A Q$ 分别与直线 $x = 4$ 交于点 $M$ 、 $N$ ，求 $Δ A P Q$ 与 $Δ A M N$ 面积之和的最小值.

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15. 已知抛物线Γ的准线方程为 $x + y + 2 = 0$ .焦点为 $F (1 ， 1)$ .

(1)、求证：抛物线Γ上任意一点 $P$ 的坐标 $(x ， y)$ 都满足方程： $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 8 x - 8 y = 0 ；$

(2)、请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；

(3)、设垂直于 $x$ 轴的直线与抛物线交于 $A 、 B$ 两点，求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

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