2020年高考数学二轮复习：11 椭圆、双曲线、抛物线

试卷更新日期：2020-04-15 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 若双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的一条渐近线方程为 $3 x + 2 y = 0$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2. 已知斜率为 $\frac{1}{3}$ 的直线l经过双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 的上焦点F，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）

A、 $1 < e < \frac{\sqrt{10}}{3}$ B、 $1 < e < \sqrt{10}$ C、 $e > \frac{\sqrt{10}}{3}$ D、 $e > \sqrt{10}$

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3. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上的点，且 $P F_{1}$ 与 $x$ 轴垂直， $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆的方程为 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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4. 已知 $P$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上一点，且在 $x$ 轴上方， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线的左、右焦点， $| F_{1} F_{2} | = 12$ ，直线 $P F_{2}$ 的斜率为 $- 4 \sqrt{3}$ ， $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $24 \sqrt{3}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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5. 过抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点， $Q (1, 2)$ ，若 $\frac{1}{| A B |} + \frac{1}{| C D |} = \frac{1}{4}$ ，则 $| P F | + | P Q |$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点，过点 $F_{2}$ 作斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $Δ A B F_{1}$ 的面积为（）

A、 $\frac{12 \sqrt{2}}{7}$ B、 $\frac{6 \sqrt{2}}{7}$ C、 $\frac{12}{7}$ D、 $\frac{12 \sqrt{3}}{7}$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右支与抛物线 $x^{2} = 2 p y$ 相交于 $A, B$ 两点，记点 $A$ 到抛物线焦点的距离为 $d_{1}$ ，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为 $d_{2}$ ，点 $B$ 到抛物线焦点的距离为 $d_{3}$ ，且 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ 构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$

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8. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的实轴长为4，左焦点F到C的一条渐近线的距离为3，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

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9. 设椭圆 $C$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $C$ 上存在点 $P$ 满足 $| P F_{1} | : | F_{1} F_{2} | : | P F_{2} | = 4 : 3 : 2$ ，则椭圆 $C$ 的离心率等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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10. 抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点与双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p的值为（）

A、 $\frac{15}{2}$ B、 $\frac{40}{3}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{7}}{3}$

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11. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} =$ 1（a＞0，b＞0）的右焦点为F ，过点F的直线y $= \sqrt{3}$ （x﹣2）与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、2 $\sqrt{3}$

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12. 已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，离心率为 $\sqrt{3}$ ，点 $P (2 \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ 在 $C$ 上，则 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{14} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{14} - \frac{x^{2}}{7} = 1$

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二、填空题

13. 若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2 m + 1} + \frac{y^{2}}{2 m} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $C$ 的短轴长为．

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14. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm x$ ，则双曲线的离心率为．

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15. 设抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且 $| A F | = 4 | B F |$ ，则弦长 $| A B | =$ ．

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16. 从抛物线 $y^{2} = 4 x$ 图象上一点 $A$ 作抛物线准线的垂线，垂足为 $B$ ，且 $| A B | = 5$ ，设 $F$ 为抛物线的焦点，则 $△ A B F$ 的面积为.

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17. 过抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 的准线上任意一点 $P$ 作抛物线的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则 $A$ 点到准线的距离与 $B$ 点到准线的距离之和的最小值是.

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三、解答题

18. 求以椭圆9x²＋5y²＝45的焦点为焦点，且经过点M(2， $\sqrt{6}$ )的椭圆的标准方程.

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19.

(1)、已知椭圆中心在原点，一个焦点为 $F (- 2 \sqrt{3}, 0)$ ，且长轴长是短轴长的2倍，求该椭圆的标准方程；

(2)、已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为 $x \pm 2 y = 0$ ，求双曲线的方程．

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20. 已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点M(4,1)，N(2,2).

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若斜率为1的直线与椭圆C交于不同的两点，且点M到直线l的距离为 $\sqrt{2}$ ，求直线l的方程.

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