安徽省滁州市2019-2020学年高二上学期数学第二次月考试卷

试卷更新日期：2020-04-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设命题 $p$ ： $\exists n \in N^{*}$ ， $2^{n} \leq 2 n + 1$ ，则 $\neg p$ 是（　　）

A、 $\exists n \in N^{*}$ ， $2^{n} > 2 n + 1$ B、 $\forall n \in N^{*}$ ， $2^{n} > 2 n + 1$ C、 $\exists n \in N^{*}$ ， $2^{n} ＝ 2 n + 1$ D、 $\forall n \in N^{*}$ ， $2^{n} \geq 2 n + 1$

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2. 若采用系统抽样方法从 $420$ 人中抽取 $21$ 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 $1$ ， $2$ ，抽取的人的编号在区间 $[241 ， 360]$ 内的人数是（　　）

A、 $7$ B、 $6$ C、 $5$ D、 $8$

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3. 如果数据x₁ ， x₂ ， …，x_n的平均数为2，方差为3，则数据3x₁+5，3x₂+5…，3x_n+5的平均数和方差分别为（）

A、11，25 B、11，27 C、8，27 D、11，8

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4. 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 $5$ 次试验，得到 $5$ 组数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， $(x_{3} ， y_{3})$ ， $(x_{4} ， y_{4})$ ， $(x_{5} ， y_{5})$ ．根据收集到的数据可知 $\overline{x} = 20$ ，由最小二乘法求得回归直线方程为 $\overset{\land}{y} = 0.6 x + 48$ ，则 $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} =$ （　　）

A、 $60$ B、 $120$ C、 $150$ D、 $300$

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5. 在区间 $[0 ， π]$ 上随机取一个数 $x$ ，则事件 “ $\sin x + \cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ” 发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{7}{12}$

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6. 已知命题 $p$ ：存在实数 $α$ ， $β$ ， $\sin (α + β) = \sin α + \sin β$ ；命题 $q$ ： $\log_{a} 2 + \log_{2} a \geq 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．则下列命题为真命题的是（　　）

A、 $p \lor q$ B、 $p \land q$ C、 $(\neg p) \land q$ D、 $(\neg p) \lor q$

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7. “ $x = 2$ ”是“ $x \geq 1$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分也非必要条件

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8. 右图是一个算法的程序框图，如果输入 $i = 0$ ， $S = 0$ ，那么输出的结果为

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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9. 在椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为(　　)

A、9x－16y＋7＝0 B、16x＋9y－25＝0 C、9x＋16y－25＝0 D、16x－9y－7＝0

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10. 点 $M$ ， $N$ 分别是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $B B_{1}$ 和棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $C M$ 与 $D N$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{15}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{15}$ D、 $\frac{4}{15}$

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线的交点为 $M, F$ 为抛物线的焦点，若 $| M F | = 2$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 已知双曲线的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 24 x$ 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为 $60^{\circ}$ ，则该双曲线的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{27} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{27} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{27} - \frac{x^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{27} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

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二、填空题

13. 如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是．

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 的直线AB与椭圆交于A，B两点，则 $△ {ABF}_{1}$ 的周长为．

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15. 已知 $\overset{⇀}{a} = (1, 1, 0)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 1, 0, 2)$ ，则 $| 2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | =$ ．

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，且 $P F_{2}$ 垂直 $x$ 轴，若直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则该椭圆的离心率为．

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三、解答题

17. 给定命题 $p :$ 关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + a = 0$ 无实根；命题 $q :$ 函数 $y = \frac{1 - 4 a}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减 $.$ 已知 $p \lor q$ 是真命题， $p \land q$ 是假命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，其外接圆半径为6， $\frac{b}{1 - \cos B} = 24$ ， $\sin A + \sin C = \frac{4}{3}$
（Ⅰ）求 $\cos B$ ；
（Ⅱ）求 $Δ A B C$ 的面积的最大值．

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19. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图的频率分布直方图．

(1)、求图中实数 $a$ 的值；

(2)、若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级
期中考试数学成绩不低于60分的人数；

(3)、若从数学成绩在 $[40 ， 50)$ 与 $[90 ， 100]$ 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

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20. 已知动圆 $P$ 过点 $F (1, 0)$ 且和直线 $l$ ： $x = - 1$ 相切．

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、已知点 $M (- 1, 0)$ ，若过点 $F$ 的直线与轨迹 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求证：直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率之和为定值．

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21. 如图（1），等腰梯形 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $C D = 6$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $C D$ 的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线 $A F$ 、 $B E$ 折起，使得点 $C$ 和点 $D$ 重合，记为点 $P$ ，如图（2）．

(1)、求证：平面 $P E F ⊥$ 平面 $A B E F$ ；

(2)、求平面 $P A E$ 与平面 $P A B$ 所成锐二面角的余弦值．

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22. 已知动圆 $M$ 在圆 $F_{1}$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 外部且与圆 $F_{1}$ 相切，同时还在圆 $F_{2}$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{49}{4}$ 内部与圆 $F_{2}$ 相切．

(1)、求动圆圆心 $M$ 的轨迹方程；

(2)、记（1）中求出的轨迹为 $C$ ， $C$ 与 $x$ 轴的两个交点分别为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上异于 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 的动点，又直线 $l : x = \sqrt{6}$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ，直线 $A_{1} P$ 、 $A_{2} P$ 分别交直线 $l$ 于 $E$ 、 $F$ 两点，求证： $| D E | \cdot | D F |$ 为定值．

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