2020年高考数学二轮复习：09 点、直线、平面之间的位置关系

试卷更新日期：2020-04-15 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，直线 $m \subset α$ ，则（）

A、 $l ⊥ m$ B、 $l ∥ m$ C、 $l ， m$ 异面 D、 $l ， m$ 相交而不垂直

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2. 已知两个不同平面 $α$ ， $β$ 和三条不重合的直线 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列命题中正确的是（）

A、若 $a / / α$ ， $α \cap β = b$ ，则 $a / / b$ B、若 $a$ ， $b$ 在平面 $α$ 内，且 $c ⊥ a$ ， $c ⊥ b$ ，则 $c ⊥ α$ C、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与 $a$ ， $b$ ， $c$ 都相交 D、若 $α$ ， $β$ 分别经过两异面直线 $a$ ， $b$ ，且 $α \cap β = c$ ，则 $c$ 必与 $a$ 或 $b$ 相交

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3. $l$ 、 $m$ 、 $n$ 表示空间中三条不同的直线， $α$ 、 $β$ 表示不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α // β$ ，则 $m // n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m // β$ ， $n // α$ ，则 $α // β$ C、若 $α \cap β = l$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m ⊥ β$ ， $n ⊥ α$ ，则 $α ⊥ β$

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4. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为1，高为2， $M$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，过 $M$ 作平面 $α$ 平行平面 $A_{1} B D$ ，若平面 $α$ 把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、 $\frac{1}{24}$ D、 $\frac{1}{48}$

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5. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的各棱长都相等， $E$ 为 $B C$ 中点，则异面直线 $A B$ 与 $D E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{33}}{6}$ D、 $\sqrt{11}$

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6. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A C$ 与 $B D_{1}$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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8. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面 $A C D_{1}$ 平行的是（）

A、直线 $E F$ B、直线 $G H$ C、直线 $E H$ D、直线 $A_{1} B$

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9. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $M ， N$ 分别是棱 $A A_{1}$ ， $B C$ 上的动点，若 $M N = \sqrt{2}$ ，则线段 $M N$ 的中点 $P$ 的轨迹是（）

A、一条线段 B、一段圆弧 C、一个球面区域 D、两条平行线段

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10. 如图，在四面体中，若直线 $E F$ 和 $G H$ 相交，则它们的交点一定（）

A、在直线 $D B$ 上 B、在直线 $A B$ 上 C、在直线 $C B$ 上 D、都不对

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11. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A C$ ， $D B = D C$ ， $A B + D B = 4$ ， $A B ⊥ B D$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的体积的最小值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3} π}{3}$ B、 $\frac{5 \sqrt{2} π}{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{3}$

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12. 如图，在空间四边形 $ABCD$ 中，点 $EH$ 分别是边 $A B ， A D$ 的中点， $F ， G$ 分别是边 $B C ， C D$ 上的点， $\frac{C F}{C B} = \frac{C G}{C D} = \frac{2}{3}$ ，则（）

A、 $E F$ 与 $G H$ 互相平行 B、 $E F$ 与 $G H$ 异面 C、 $E F$ 与 $G H$ 的交点 $M$ 可能在直线 $A C$ 上，也可能不在直线 $A C$ 上 D、 $E F$ 与 $G H$ 的交点 $M$ 一定在直线 $A C$ 上

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二、填空题

13. 已知三个互不重合的平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，且直线 $m$ ， $n$ 不重合，由下列条件：① $m ⊥ n$ ， $m ⊥ β$ ；② $n \subset α$ ， $α / / β$ ；③ $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $n \subset α$ ；能推得 $n / / β$ 的条件是．

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14. 如图，已知圆柱的轴截面 $A B B_{1} A_{1}$ 是正方形，C是圆柱下底面弧 $A B$ 的中点， $C_{1}$ 是圆柱上底面弧 $A_{1} B_{1}$ 的中点，那么异面直线 $A C_{1}$ 与 $B C$ 所成角的正切值为.

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15. 已知半径为2的球的球面上有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 不同的四点， $Δ A B C$ 是边长为3的等边三角形，且 $D O ⊥$ 平面 $A B C (O$ 为球心， $D$ 与 $O$ 在平面 $A B C$ 的同一侧），则三棱锥 $D - A B C$ 的体积为.

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16. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{0} ， A A_{1} = 2 ， A C = B C = 1$ ，则异面直线 $A_{1} B$ 与 $A C$ 所成角的余弦值是．

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17. 《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪。在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为邪田，两畔 $C D ， A B$ 分别为1，3，正广 $A D$ 为 $2 \sqrt{3}$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，则邪田 $A B C D$ 的邪长为；邪所在直线与平面 $P A D$ 所成角的大小为.

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三、解答题

18. 已知四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为梯形， $∠ B C D = ∠ A D C = ∠ S A D = 90 °$ ，平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为线段 $A D$ 的中点， $A D = 2 B C = 2 C D$ .

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $S A B$ ；

(2)、若 $S A = A D = 2$ ，求点 $E$ 到平面 $S B D$ 的距离.

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19. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥平面ABCD，BD＝CD，E，F分别为BC，PD的中点．

(1)、求证：EF∥平面PAB；

(2)、求证：平面PBC⊥平面EFD．

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20. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，点 $E$ 是边 $A D$ 上的一点，且 $A E = 2 E D$ ，点 $H$ 是 $B E$ 的中点，将 $Δ A B E$ 沿着 $B E$ 折起，使点 $A$ 运动到点 $S$ 处，且有 $S C = S D$ .

(1)、证明： $S H ⊥ 平面 B C D E$ .

(2)、求四棱锥 $S - B C D E$ 的体积.

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21. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ， $C C_{1} = 2$ ， $△ A B C$ ， $△ A C C_{1}$ ，均为正三角形，E为AB的中点.

(1)、证明： $A C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C E$ ，

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $B_{1} B A A_{1}$ 所成角的正弦值.

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22. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是正三角形， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，M为 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B_{1} C / /$ 平面 $A M C_{1}$ ；

(2)、若 $B B_{1} = 4$ ，且沿侧棱 $B B_{1}$ 展开三棱柱的侧面，得到的侧面展开图的对角线长为 $4 \sqrt{10}$ ，求作点 $A_{1}$ 在平面 $A M C_{1}$ 内的射影H，请说明作法和理由，并求线段AH的长．

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