安徽省“庐巢六校联盟”2019-2020学年高二上学期理数第二次段考试卷

试卷更新日期：2020-04-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知点 $A (- 3, 1, - 4)$ ， $B (3, - 5, 10)$ ，则线段 $A B$ 的中点 $M$ 的坐标为（）

A、 $(0, - 4, 6)$ B、 $(0, - 2, 3)$ C、 $(0,2,3)$ D、 $(0, - 2, 6)$

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2. 如果直线 $a x + 2 y + 1 = 0$ 与直线 $x + y - 2 = 0$ 互相垂直，则实数 $a =$ （）

A、1 B、 $- 2$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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3. 在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于点M，那么（）

A、M一定在直线AC上 B、M一定在直线BD上 C、M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 D、M既不在直线AC上，也不在直线BD上

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4. 已知 $α$ ， $β$ 是相异两平面； $m, n$ 是相异两直线，则下列命题中假命题的是（）

A、若 $m ∥ n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $m ∥ α$ ， $α \cap β = n$ ，则 $m ∥ n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

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5. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件

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6. 直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　　)

A、－24 B、24 C、6 D、±6

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7. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 $\frac{28 π}{3}$ ，则它的表面积是（）

A、17π B、18π C、20π D、28π

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8. 两圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y = 0$ 与 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 12 = 0$ 的公共弦长等于(　　)

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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9. 若 $P, Q$ 分别为直线 $3 x + 4 y - 12 = 0$ 与 $6 x + 8 y + 5 = 0$ 上任意一点，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{29}{10}$ B、 $\frac{9}{5}$ C、 $\frac{18}{5}$ D、 $\frac{29}{5}$

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10. 已知命题p：若x>y ，则－x<－y；命题q：若x>y ，则x²>y².在命题①p∧q；②p∨q；③p∧( $\neg$ q)；④( $\neg$ p)∨q中，真命题是(　　)

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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11. 若x、y满足x²＋y²－2x＋4y－20＝0，则x²＋y²的最小值是(　　)

A、 $\sqrt{5}$ －5 B、5－ $\sqrt{5}$ C、30－10 $\sqrt{5}$ D、无法确定

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12. 如图4，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，各棱长都相等，则二面角 $A_{1} - B C - A$ 的平面角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

13. 命题“ $\forall x \in R, 3 x^{2} - 2 x + 1 > 0$ ”的否定是.

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14. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 $\sqrt{3}$ ，则这个圆锥的侧面积是．

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15. 过点 $A (1, 2)$ 且与两定点 $(2, 3)$ 、 $(4, - 5)$ 等距离的直线方程为.

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16. 如图所示，在圆锥 $S O$ 中， $A B ， C D$ 为底面圆的两条直径， $A B \cap C D = O$ ，且 $A B ⊥ C D$ ， $S O = O B = 2$ ， $P$ 为 $S B$ 的中点，则异面直线 $S A$ 与 $P D$ 所成角的正切值为.

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三、解答题

17. 已知直线 $l$ 的倾斜角为 $135 °$ 且经过点 $P (1 ， 1)$ .

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、求点 $A (3 ， 4)$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{'}$ 的坐标.

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18. 已知命题p：方程 $x^{2} - 2 \sqrt{2} x + m = 0$ 有两个不相等的实数根；命题q： $2^{m + 1} < 4$ ．

(1)、若p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，求实数m的取值范围．

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19. 已知曲线 $C$ 是动点 $M$ 到两个定点 $O (0, 0)$ 、 $A (3, 0)$ 距离之比为 $\frac{1}{2}$ 的点的轨迹.

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、求过点 $N (1, 3)$ 且与曲线 $C$ 相切的直线方程.

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20. 如图所示的多面体中 $A C ⊥ B C$ ，四边形 $A B E D$ 是的正方形，平面 $A B E D ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $G 、 F$ 分别为 $E C$ 、 $B D$ 的中点.
求证：

(1)、 $G F ∥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、 $B C ⊥$ 平面 $A C D$ .

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21. 已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0)$ ，点 $A (0 ， 4)$ ， $B (2 ， 2)$ .

(1)、若线段 $A B$ 的中垂线与圆 $O$ 相切，求实数 $a$ 的值；

(2)、过直线 $A B$ 上的点 $P$ 引圆 $O$ 的两条切线，切点为 $M 、 N$ ，若 $∠ M P N = 60 °$ ，则称点 $P$ 为“好点”.若直线 $A B$ 上有且只有两个“好点”，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中： $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = 2$ ， $P A = P B = P C = 3$ ， $O$ 是 $A B$ 的中点， $E$ 是 $P B$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $O E C$ 的距离.

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