2020年高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题

试卷更新日期：2020-04-13 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} + S_{n} = - n^{2} + 25 n (n \in N^{*})$ ，则 $a_{12} + a_{13}$ 等于（）

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、4

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2. 已知各项都是正数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n (n \in N^{*})$ ，若当且仅当 $n = 4$ 时， $\frac{a_{n}}{n}$ 取得最小值，则（）

A、 $0 < a_{1} < 12$ B、 $12 < a_{1} < 20$ C、 $a_{1} = 12$ D、 $a_{1} = 20$

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3. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + 2^{n}$ ，则 $a_{2017}$ 的值为（）

A、 $2^{2016}$ B、 $2^{2018}$ C、 $2^{2017}$ D、 $- 2^{2017}$

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4. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 3$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、 $192$ B、 $96$ C、 $93$ D、 $189$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - \frac{1}{4}, a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n > 1)$ ，则 $a_{2019} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、5 C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（3-x）=f（x），f（-1）=3，数列{a_n}满足a₁=1且a_n=n（a_n+1-a_n）（n∈N*），则f（a₃₆）+f（a₃₇）=（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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7. 已知数列{a_n}的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - n + 1$ ，则这个数列的通项公式为（）

A、 $a_{n} = 2 n - 1$ B、 $a_{n} = 2^{n - 1}$ C、 $a_{n} = 2 n - 2$ D、 $a_{n} = {\begin{array}{l} 1, n = 1 \\ 2 n - 2, n \geq 2 \end{array}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} ＝ 1 ， S_{n} ＝ 2 a_{n}_{+ 1} ，$ 则 $S_{n}$ ＝（）

A、 $2^{n - 1}$ B、 ${(\frac{3}{2})}^{n - 1}$ C、 ${(\frac{2}{3})}^{n - 1}$ D、 $\frac{1}{2^{n - 1}}$

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9. 已知数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1.1, b_{1} = 0.2, a_{n + 1} = \frac{b_{n + 1} + a_{n}}{2}, b_{n + 1} = \frac{1}{3} a_{n} + \frac{2}{3} b_{n}, n \in N$ ，令 $c_{n} = a_{n} - b_{n}$ ，则满足 $c_{n} \leq \frac{1}{10^{4}}$ 的 $n$ 最小值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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10. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $(n + 1) S_{n} < n S_{n + 1} (n \in N^{*})$ .若 $\frac{a_{8}}{a_{7}} < - 1$ ，则（）

A、 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{8}$ B、 $S_{n}$ 的最小值为 $S_{8}$ C、 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{7}$ D、 $S_{n}$ 的最小值为 $S_{7}$

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11. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1}^{2} = 2 S_{n} + n + 1 (n \in N^{*})$ ，设数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{n}$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{2}]$ B、 $(0, 1)$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $[\frac{1}{2}, 1)$

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12. 数列 ${a_{n}}$ 为1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...，首先给出 $a_{1} = 1$ ，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是 $a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 2$ ，然后再复制前面的所有项1、1、2，再添加2的后继数4，于是 $a_{4} = 1$ ， $a_{5} = 1$ ， $a_{6} = 2$ ， $a_{7} = 4$ ，接下来再复制前面的所有项1、1、2、1、1、2、4，再添加8，...，如此继续，则 $a_{2019} =$ （）

A、16 B、4 C、2 D、1

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二、填空题

13. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n(n+1)+2，其中 $n \in N^{*}$ ，则a_n=.

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14. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} (2 S_{n} - 1) = 2 S_{n}^{2}$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ），则 $a_{n} =$ .

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15. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ ，则 $a_{5} =$ ；前8项的和 $S_{8} =$ .（用数字作答）

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式和为 $S_{n} = \frac{n (7 n + 3)}{2}$ ， $n \in N^{*}$ ，现从前 $m$ 项： $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{m}$ 中抽出一项（不是 $a_{1}$ 也不是 $a_{m}$ ），余下各项的算术平均数为40，则抽出的是第项

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17. 已知以区间 $(0, 2)$ 上的整数为分子，以 $2$ 为分母的数组成集合 $A_{1}$ ，其所有元素的和为 $a_{1}$ ；以区间 $(0, 2^{2})$ 上的整数为分子，以 $2^{2}$ 为分母组成不属于集合 $A_{1}$ 的数组成集合 $A_{2}$ ，其所有元素的和为 $a_{2}$ ；……依此类推以区间 $(0, 2^{n})$ 上的整数为分子，以 $2^{n}$ 为分母组成不属于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ … $A_{n - 1}$ 的数组成集合 $A_{n}$ ，其所有元素的和为 $a_{n}$ ，若数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2020} - S_{2019} =$ ．

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三、解答题

18. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S_n＝2n²＋kn＋k，

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、若b_n＝ $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n + 1}$ ，设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ .
（Ⅰ）求证：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列；

（Ⅱ）求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列,其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ , ${b_{n}}$ 为等比数列,满足: $a_{1} = b_{1} = 1$ , $a_{1} + a_{4} = b_{4}$ , $S_{4} = b_{5}$ ,

(1)、求 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ ;

(2)、设 $C_{n} = a_{b_{n}}$ ,求数列 ${C_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + a_{n} = 5 \times 3^{n} - 3, b_{n} = \frac{a_{n}}{(4 n^{2} - 1) 3^{n}}$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} - 2 \times 3^{n}}$ 为常数列.

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $S_{n} = \frac{1}{3} (n + 2) a_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 的值及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} < 1$ .

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