2020年高考数学二轮复习：06 等差数列与等比数列

试卷更新日期：2020-04-13 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{8} = 10, a_{3} = 7$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{2} = 16, a_{1} = 64 a_{4}$ ，数列 ${\sqrt{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{6}$ 等于（）

A、 $\frac{63}{4}$ B、 $\frac{63}{16}$ C、 $\frac{63}{8}$ D、 $\frac{63}{32}$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 为各项均为正数的等比数列， $S_{n}$ 是它的前 $n$ 项和，若 $a_{1} a_{7} = 4$ ，且 $a_{4} + 2 a_{7} = \frac{5}{2}$ ，则 $S_{5}$ =（）

A、32 B、31 C、30 D、29

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4. 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = n \cos \frac{n π}{2}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2020} =$ （）

A、 $1010$ B、 $2020$ C、 $5050$ D、 $0$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列.若 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n}$ 的最小值为（）

A、 $- 10$ B、 $- 14$ C、 $- 18$ D、 $- 20$

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6. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，其公差为-2，且 $a_{7}$ 是 $a_{3}$ 与 $a_{9}$ 的等比中项， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和， $n \in N^{*}$ ，则 $S_{10}$ 的值为（）

A、-100 B、-90 C、90 D、110

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7. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等差数列，且 $4 \sin A = 3 \sin B$ ，则 $\sin A \cos B + \sin C =$ （）

A、 $\frac{34}{25}$ B、 $\frac{27}{25}$ C、 $\frac{12}{25}$ D、 $\frac{7}{5}$

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8. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{n} = 82$ ， $a_{3} a_{n - 2} = 81$ ，且前 $n$ 项和 $S_{n} = 121$ ，则此数列的项数 $n$ 等于（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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9. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 15$ ，则该数列前9项和 $S_{9} =$ （）

A、18 B、27 C、36 D、45

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10. 等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q = 3$ ，则 $\frac{a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7}}{a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8}}$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $x = 1$ 是函数 $f (x) = \frac{a_{n + 1}}{3} x^{3} - a_{n} x^{2} + 1$ $(n \in N_{+})$ 的极值点，设 $b_{n} = \log_{2} a_{n + 2}$ ，记 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $[\frac{2018}{b_{1} b_{2}} + \frac{2018}{b_{2} b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2018}{b_{2018} b_{2019}}] =$ （）

A、2019 B、2018 C、1009 D、1008

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12. 明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有 $大吕 = \sqrt{黄钟 \times 太簇}$ ， $大吕 = \sqrt[3]{{(黄钟)}^{2} \times 夹钟}$ ， $太簇 = \sqrt[3]{黄钟 \times {(夹钟)}^{2}}$ ．据此，可得正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{k} =$ （）

A、 $\sqrt[n - k + 1]{a_{1}^{n - k} \cdot a_{n}}$ B、 $\sqrt[n - k + 1]{a_{1} \cdot a_{n}^{n - k}}$ C、 $\sqrt[n - 1]{a_{1}^{n - k} \cdot a_{n}^{k - 1}}$ D、 $\sqrt[n - 1]{a_{1}^{k - 1} \cdot a_{n}^{n - k}}$

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二、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 为正项等差数列，其前2020项和 $S_{2020} = 1010$ ，则 $\frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{2019}}$ 的最小值为.

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14. 若数列｛ $a_{n}$ ｝的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - 2 n$ ，则此数列的通项公式．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n}^{2} = 2 a_{n} S_{n} - 1$ ，则 $a_{2020} =$ ．

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16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ， $a_{4} - a_{2} = 6$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{8}$ 成等比数列，则 $\frac{S_{10}}{a_{3}} =$ .

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17. 我国古代庄周所著的《庄子 $\cdot$ 天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去.若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第 $n$ 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为 $a_{n}$ ，则 $a_{n} =$

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三、解答题

18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 满足a₁=b₁=1，a₂+a₄=10，b₂b₄=a₅ ．
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求和： $b_{1} + b_{3} + b_{5} + \dots + b_{2 n - 1}$ ．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，且 $n \in N *$ 时， $a_{n + 1}$ ， $a_{n}$ ， $- \frac{2}{3}$ 成等差数列．

(1)、求证：数列 ${a_{n} + \frac{2}{3}}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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20. 已知公差为 $d$ $(d \neq 0)$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1}, a_{2}, a_{6}$ 成等比数列

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{k + 2} - S_{k} = 41$ ，求 $k$ 的值．

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21. 已知等差数列 ${\log_{3} a_{n}}$ 的首项为1，公差为1，等差数列 ${b_{n}}$ 满足 $(n + 1) b_{n} = n^{2} + 2 n + k$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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