2020年高考数学二轮复习：05 三角函数的图象与性质

试卷更新日期：2020-04-13 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 要得到函数 $y = \sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x$ 的图象，只需把函数 $y = \sqrt{3} \cos 2 x - \sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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2. 已知函数 $f (x) = \sin^{4} x - \cos^{4} x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的最大值为2 C、 $f (x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减

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3. 已知 $x = \frac{π}{4}$ 是函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $0 < ω < 3$ ， $0 < φ < π$ ）的一个零点，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，所得图象关于 $y$ 轴对称，则函数 $f (x)$ 的单调递增区间是（）

A、 $[- \frac{3 π}{4} + 2 k π, \frac{π}{12} + 2 k π]$ ， $k \in Z$ B、 $[- \frac{5 π}{12} + \frac{4 k π}{3}, \frac{π}{4} + \frac{4 k π}{3}]$ ， $k \in Z$ C、 $[- \frac{5 π}{12} + 2 k π, \frac{π}{4} + 2 k π]$ ， $k \in Z$ D、 $[- \frac{3 π}{4} + \frac{4 k π}{3}, - \frac{π}{12} + \frac{4 k π}{3}]$ ， $k \in Z$

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4. 已知曲线 $C_{1} ： y = \sin x$ ， $C_{2} ： y = \cos (2 x - \frac{2 π}{3})$ ，则下面结论正确的是（）

A、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ ； B、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ ； C、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ ； D、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ ；

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5. 已知函数 $y = \sin (2 x + ϕ)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 处取得最大值，则函数 $y = \cos (2 x + ϕ)$ 的图象（）

A、关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 C、关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称

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6. 将函数 $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$ 的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象.若 $g (x)$ 为奇函数，则 $m$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{18}$ B、 $\frac{π}{9}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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7. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (x \in R) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，如果 $x_{1} ， x_{2} \in (\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3})$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $f (x_{1} + x_{2}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) + \cos (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | \leq \frac{π}{2}$ ）的最小正周期为 $π$ ，且过点 $(0 ， \sqrt{2})$ ，则下列正确的为（）
① $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 单调递减.② $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{2}$ .③ $f (| x |)$ 的周期为 $\frac{π}{2}$ .④把函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位得到函数 $g (x)$ 的解析式为 $g (x) = \sqrt{2} \cos (2 x + \frac{π}{6})$

A、①② B、①③ C、①②③ D、①②④

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9. 已知 $f (x) = \sin (2019 x + \frac{π}{6}) + \cos (2019 x - \frac{π}{3})$ 的最大值为 $A$ ，若存在实数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，使得对任意实数 $x$ 总有 $f (x_{1}) \leq f (x) \leq f (x_{2})$ 成立，则 $A | x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{2019}$ B、 $\frac{4 π}{2019}$ C、 $\frac{2 π}{2019}$ D、 $\frac{π}{4038}$

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10. 函数 $y = 2 \sin (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象（部分图象如图所示），则其解析式为（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = 2 \sin (4 x + \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{6})$

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11. 若函数 $f (x) = \cos (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，则 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的值域为（）

A、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}]$ B、 $[- \frac{1}{2}, 1]$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$ D、 $[\frac{1}{2}, 1]$

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12. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{6}) \cos (x - \frac{π}{6})$ 图象与直线 $y = \sqrt{3}$ 相交，若在 $y$ 轴右侧的交点自左向右依次记为 $M_{1}, M_{2}, M_{3}, \dots$ ，则 $| M_{1} M_{14} | =$ （）

A、 $\frac{19 π}{3}$ B、 $\frac{37 π}{6}$ C、 $7 π$ D、 $\frac{31 π}{6}$

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13. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 2.1] = - 3$ ， $[3.1] = 3$ ，已知函数 $f (x) = \frac{\sin x + 2}{\sin x + 1}$ ， $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域是（）

A、 ${1, 2}$ B、 $[1, 2]$ C、 $(1, 2)$ D、 ${2}$

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二、填空题

14. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3}) ， x \in [0 ， \frac{13 π}{6}]$ 的图象与直线 $y = m$ 的三个交点的横坐标分别为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，那么 $x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} =$ ．

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15. 函数f（x）=2sin（ωx+φ）， $| φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别是 $(0 ， \sqrt{3})$ ， $(\frac{8}{3} ， 0)$ ，则 $f (1) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移1个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (1) + g (2) + g (3) + \dots + g (2019) =$ .

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17. 直线 $2 y + 1 = 0$ 与曲线 $y = \cos x$ ，在 $(- \frac{3 π}{4} ， \frac{3 π}{2})$ 上的交点的个数为.

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18. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x$ ，则函数 $y = f (x)$ 的周期为．函数 $y = f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2})$ 上的最小值是．

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三、解答题

19. 已知函数 $f (x) = \sin x (\cos x - \sin x) + \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且满足 $a \cos 2 B = a \cos B - b \sin A$ ，求 $f (A)$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) + b (A ， ω > 0 ， 0 < φ < π ， b 为常数）$ 一段图像如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在 $Δ A B C$ 中， $f (B) = \frac{7}{2}$ ，求 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} C$ 的取值范围.

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21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ , $B$ , $C$ 的对边分别为 $a$ , $b$ , $c$ ．

(1)、若 $23 {cos}^{2} A + cos 2 A = 0$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形， $a = 7$ , $c = 6$ ，求 $b$ 的值；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ , $A = \frac{π}{3}$ ，求 $b + c$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin x cos x + 2 {cos}^{2} x .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、现将函数 $f (x)$ 图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍 $($ 纵坐标不变 $)$ ，得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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