2020年高考数学二轮复习：04 平面向量

试卷更新日期：2020-04-13 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B = 2 D C = 4$ ， $A D = B C = \sqrt{5}$ ， $E$ 是 $D C$ 的中点， $F$ 是线段 $B C$ 上的动点，则 $\overset{⇀}{E F} \cdot \overset{⇀}{B F}$ 的最小值是（）

A、0 B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{9}{5}$ D、1

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2. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，且 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $| 2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = \sqrt{13}$ ， $| \overset{⇀}{b} | \geq | \overset{⇀}{a} |$ ，则 $| \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、 $3$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $4$

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3. 已知 $Δ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 4$ ， $O$ 为 $Δ A B C$ 所在平面上一点，且满足 $O A = O B = O C$ .设 $\overset{⇀}{A O} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{11}{18}$ D、 $\frac{7}{11}$

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4. 如图，在等腰直角 $Δ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别为斜边 $B C$ 的三等分点（ $D$ 靠近点 $B$ ），过 $E$ 作 $A D$ 的垂线，垂足为 $F$ ，则 $\overset{⇀}{A F} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{5} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{2}{5} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{5} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{4}{15} \overset{⇀}{A B} + \frac{8}{15} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{8}{15} \overset{⇀}{A B} + \frac{4}{15} \overset{⇀}{A C}$

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5. 已知非零向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{b} | = 4 | \overset{⇀}{a} |$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ (2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b})$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 4$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $2$ D、 $1$

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7. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ 在向量 $\overset{⇀}{b}$ 方向上的投影为 $- 1$ ，向量 $\overset{⇀}{b}$ 在向量 $\overset{⇀}{a}$ 方向上的投影为 $- \frac{1}{2}$ ，且 $| \overset{⇀}{b} | = 1$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、2 D、12

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8. 已知 $Δ A B C, ∠ B A C = 60^{\circ}, A B = 2, A C = 1, E, F$ 为边 $B C$ 的两个三等分点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{10}{9}$ C、 $\frac{15}{8}$ D、 $\frac{5}{3}$

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9. 下列各组向量平行的是（）

A、 $\vec{a} = (1, 1, - 2), \vec{b} = (- 3, - 3, 6)$ B、 $\vec{a} = (0, 1, 0), \vec{b} = (1, 0, 1)$ C、 $\vec{a} = (0, 1, - 1), \vec{b} = (0, - 2, 1)$ D、 $\vec{a} = (1, 0, 0), \vec{b} = (0, 0, 1)$

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10. 已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $120 °$

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11. $Δ A B C$ 中所在的平面上的点 $D$ 满足 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{A D} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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12. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{2} \cos θ, \sqrt{2} s i n θ)$ ， $θ \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\vec{b} = (0, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{3 π}{2} - θ$ B、 $\frac{π}{2} + θ$ C、 $θ - \frac{π}{2}$ D、 $θ$

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二、填空题

13. 在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $∠ A B C = 90^{0} ， A B = B C = 4 ， A D = 2$ ，则向量 $\overset{⇀}{B D}$ 在向量 $\overset{⇀}{A C}$ 上的投影为.

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14. 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点， $A D = \frac{1}{2} A B ， B E = \frac{2}{3} B C$ ，若 $\vec{D E} = λ_{1} \vec{C B} + λ_{2} \vec{C A}$ （λ₁ ， λ₂为实数），则λ₁+λ₂＝．

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15. 根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有 $Δ A B C$ 满足“勾3股4弦5”，其中“股” $A B = 4$ ， $D$ 为“弦” $B C$ 上一点（不含端点），且 $Δ A B D$ 满足勾股定理，则 $(\overset{⇀}{C B} - \overset{⇀}{C A}) \cdot \overset{⇀}{A D} =$ .

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16. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C = 60^{\circ}$ ， $A B = 2$ ，且点 $M$ 满足 $\overset{⇀}{B M} = 2 \overset{⇀}{C M}$ ，则 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{B C} =$ .

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17. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是 $\frac{π}{3}$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{b} | = \frac{1}{2}$ ，则向量 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为．

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18. 已知 $\overset{⇀}{a} = (3, 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 4, 2 t^{2} + 3)$ ，若 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = - 9$ ，则 $cos< \overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b} > =$ .

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三、解答题

19. 已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (k, 3), (k \in R)$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值.

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20. 已知 $| \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 3, (2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 61.$

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、若 $\vec{c} = t \vec{a} + (1 - t) \vec{b}$ ，且 $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ，求 $t$ 及 $| \vec{c} |$ .

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21. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 都是单位向量， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 满足 $| k \vec{a} + \vec{b} |_{} = \sqrt{3} | \vec{a} - k \vec{b} |$ ，其中 $k > 0$ .

(1)、用k表示 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小值，并求此时 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角的大小.

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22. 边长为1的正三角形 $A B C$ ， $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 上的点，若 $\overset{⇀}{A E} = m \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{A F} = n \overset{⇀}{A C}$ ，其中 $m ， n \in (0 ， 1)$ ，设 $E F$ 的中点为 $M$ ， $B C$ 中点为 $N$ .

(1)、若 $A$ 、 $M$ 、 $N$ 三点共线，求证： $m = n$ ；

(2)、若 $m + n = 1$ ，求 $| M N |$ 的最小值.

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