2020年高考数学二轮复习：03 导数的简单应用

试卷更新日期：2020-04-13 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 若直线 $y = k x - 2$ 与曲线 $y = 1 + 3 \ln x$ 相切，则 $k =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 x$ ，当 $x = 0$ 时， $f (x)$ 取极大值1，则函数 $f (x)$ 的极小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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3. 已知函数 $y = f (x)$ ，其导函数 $y = f' (x)$ 的图象如下图所示，则 $y = f (x)$ （）

A、在 $(- \infty ， 0)$ 上为减函数 B、在 $x = 0$ 处取极小值 C、在 $(4 ， + \infty)$ 上为减函数 D、在 $x = 2$ 处取极大值

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4. 已知函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上可导且满足 $x f' (x) + f (x) > 0$ ，则下列一定成立的为（）

A、 $π f (π) > e f (e)$ B、 $f (π) < f (e)$ C、 $\frac{f (π)}{π} < \frac{f (e)}{e}$ D、 $f (π) > f (e)$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + b x + 1$ 在 $x = 1$ 处有极值，设函数 $F (x) = f (x) - (a - \frac{3}{2}) x^{2}$ ，且 $F (x)$ 在区间 $(2 ， 3)$ 内不单调，则a的取值范围为（）

A、 $(\frac{3}{2} ， \frac{11}{3})$ B、 $(\frac{3}{2} ， \frac{11}{6})$ C、 $(\frac{3}{4} ， \frac{11}{3})$ D、 $(\frac{3}{2} ， \frac{8}{3})$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} + a x^{2} + x + 1$ 在 $R$ 上为增函数，则实数 $a$ 的取值范围是 $($ $)$

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $[0 ， 1)$

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7. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 对任意 $x$ 都有 $f (x) = f (4 - x)$ ，且其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $(x - 2) f^{'} (x) > 0$ ，则当 $2 < a < 4$ 时，有（）

A、 $f (2^{a}) < f (2) < f (\log_{2} a)$ B、 $f (2) < f (2^{a}) < f (\log_{2} a)$ C、 $f (2) < f (\log_{2} a) < f (2^{a})$ D、 $f (\log_{2} a) < f (2^{a}) < f (2)$

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8. 已知定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足 $f^{'} (x) > f (x) 且 y = f (x + 1)$ 是偶函数， $f (0) = 2 e^{2}$ ，则不等式 $f (x) < 2 e^{x}$ 的解集为（）.

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(- \infty ， 0)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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9. 函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ 在区间[－1，1]上的最大值是（）

A、4 B、2 C、0 D、－2

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln (x + 1) ， x > 0 \\ \frac{1}{2} x + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若 $m < n$ ，且 $f (m) = f (n)$ ，则 $n - m$ 的取值范围为（）

A、 $[3 - 2 \ln 2 ， 2)$ B、 $[3 - 2 \ln 2 ， 2]$ C、 $[e - 1 ， 2)$ D、 $[e - 1 ， 2]$

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11. 已知 $f' (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，且对任意的实数 $x$ 都有 $f' (x) = e^{x} (2 x + 3)$ $+ f (x) (e$ 是自然对数的底数）， $f (0) = 1$ ，若不等式 $f (x) - k < 0$ 的解集中恰有两个整数，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{e} ， 0)$ B、 $[- \frac{1}{e^{2}} ， 0]$ C、 $(- \frac{1}{e^{2}} ， 0]$ D、 $(- \frac{1}{e^{2}} ， 0)$

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二、填空题

12. 曲线 $y = x \cdot (1 + \ln x)$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线方程为.

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13. 已知函数 $f (x) = l n x + 2 a x, g (x) = \frac{1}{x} - a$ ，且 $f (x) g (x) \leq 0$ 在定义域内恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为．

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14. 已知实数 $a$ 为函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 的极小值点，则 $a =$ .

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15. 已知函数f(x)=kx³+3(k-1)x²-k²+1(k>0)在（0，4）上是减函数，则实数k的取值范围是

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16. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x}$ 在区间 $(1 ， 4)$ 上存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是.

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17. 函数 $f (x) = e^{x} | x - a |$ 在 $(- 1 ， 2)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \ln x$ ，定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $g (x)$ 的导函数 $g^{'} (x) = (e^{x} - a) (\ln x - a)$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、求证： $f (x) > 0$ ；

(2)、求函数 $g (x)$ 的单调区间．

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19. 已知函数 $g (x) = e^{x} - (a - 1) x^{2} - b x - 1 (a ， b \in R)$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、若函数 $f (x) = g^{'} (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上是单调函数，试求 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上恰有3个零点，且 $g (1) = 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x + a^{2} (a > 1)$ 的图象在 $x = - 1$ 处的切线方程为 $y = 0$ .

(1)、求常数 $a ， b$ 的值；

(2)、若方程 $f (x) = c$ 在区间 $[- 4 ， 1]$ 上有两个不同的实根，求实数 $c$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = e \ln x + \frac{k}{x}$ （其中e是自然对数的底数，k为正数）

(1)、若 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处取得极值，且 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个零点，求k的值；

(2)、若 $k \in (1 ， e)$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， 1]$ 上的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{3} + b$ ．

(1)、求证：当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上存在最小值；

(2)、若 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的零点且当 $x < 2$ 时， $f (x) < 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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