2020年高考数学二轮复习：02 基本初等函数、函数与方程及函数的应用

试卷更新日期：2020-04-13 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 若 $a = \log_{6} 7$ ， $b = \log_{5} 4$ ， $c = \log_{\frac{1}{3}} 4$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x - 1} ， x < 2 ， \\ \log_{3} (x^{2} - 1) ， x \geq 2 ， \end{array}$ 若 $f (a) \geq 1$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 2)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [1 ， + \infty)$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} + 3 ， x \leq 0 \\ 2^{x} + \log_{9} x^{2} - 9 ， x > 0 \end{array}$ ，则函数 $y = f (f (x))$ 的零点所在区间为（）

A、 $(3 ， \frac{7}{2})$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(\frac{7}{2} ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

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4. 已知 $a = \log_{π} e$ ， $b = \ln \frac{π}{e}$ ， $c = \ln \frac{e^{2}}{π}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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5. 对于任意实数 $x$ ，符号 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分，即 $[x]$ 是不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[2] = 2$ ； $[2.1] = 2$ ；则 $[\log_{3} 1] + [\log_{3} 2] + [\log_{3} 3] + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + [\log_{3} 27]$ 的值为（）

A、42 B、43 C、44 D、45

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6. 如图是二次函数 $f (x) = x^{2} - b x + a$ 的部分图象，则函数 $g (x) = a \ln x + f^{'} (x)$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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7. 描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺.起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底.描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹.现甲､乙两位工匠要完成A ， B ， C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹.每道工序所需的时间(单位：小时)如下：

则完成这三件原料的描金工作最少需要（）

A、43小时 B、46小时 C、47小时 D、49小时

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 & x > 0 \\ - x^{2} - 2 x & x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有3个零点，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、(0， $\frac{1}{2}$ ) B、 $(\frac{1}{2} ， 1]$ C、 $(0 ， 1]$ D、（0，1）

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9. 已知函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 内单调递增，且 $f (- x) = f (x)$ ，若 $a = f (\log_{\frac{1}{2}} 3)$ ， $b = f (2^{- 1.2})$ ， $c = f (\frac{1}{2})$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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10. 三个数 $7^{0.8}$ ， ${0.8}^{7}$ ， $\log_{0.8} 7$ 的大小顺序是（）

A、 $\log_{0.8} 7 < {0.8}^{7} < 7^{0.8}$ B、 $\log_{0.8} 7 < 7^{0.8} < {0.8}^{7}$ C、 ${0.8}^{7} < 7^{0.8} < \log_{0.8} 7$ D、 $7^{0.8} < {0.8}^{7} < \log_{0.8} 7$

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11. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，满足条件 $f (x + 1) = f (- x + 1)$ ，且当 $x \leq 1$ 时， $f (x) = e^{- x} - 3$ ，则 $a = f (l o g_{2} 7)$ ， $b = f (3^{- \frac{2}{3}}) ， c = f (3^{- 1.5})$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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12. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2019} ， x \leq a \\ x^{2018} ， x > a \end{array}$ ，若存在实数m ，使函数 $y = f (x) - m$ 有两个零点，则a的取值范围（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0)$

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二、填空题

13. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{- x} + 2019 ， x \leq 0 \\ 2020 ， x > 0 \end{array}$ ，则满足 $f (x^{2} - 3) \leq f (- 2 x)$ 的 $x$ 取值范围是.

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14. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + 2$ ，若函数 $f (x)$ 只有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | \lg (- x) | ， x < 0 \\ x^{2} - 6 x + 4 ， x \geq 0 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - b f (x) + 1 = 0$ 有8个不同根，则实数 $b$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x)$ 是指数函数，如果 $f (3) = 9 f (1)$ ，那么 $f (8)$ $f (4)$ （请在横线上填写“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）

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17. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x）=f（2-x），当x∈[0，1]时，f（x）=x·2^x.则方程f（x）-|lgx|=0的根的个数为.

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x} + 1 ， x \geq 1 \\ \frac{3 x}{2} ， 0 < x < 1 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - k$ 有两不同的零点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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19. 设函数 $f (x) = \log_{a} (x - 1) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒过点 $(m ， n)$ ，则 $m - n =$ .

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20. 已知 $f (x) = {\begin{matrix} a^{x} ，^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{} {^{}}^{}^{} x > 1 \\ (4 - \frac{a}{2}) x + 2 ， x \leq 1 \end{matrix}$ 满足对任意x₁≠x₂ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ >0成立，那么a的取值范围是．

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21. 若函数 $f (x) = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数 $g (x) = (1 - 4 m) \sqrt{x}$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是增函数，则a＝.

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22. 设 $a > 0 ， a \neq 1 ， M > 0 ， N > 0 ，$ 我们可以证明对数的运算性质如下： $∵ a^{\log_{a} M + \log_{a} N} = a^{\log_{a} M} a^{\log_{a} N} = M N ， ①$ $∴ \log_{a} M N = \log_{a} M + \log_{a} N$ .我们将 $①$ 式称为证明的“关键步骤”.则证明 $\log_{a} M^{r} = r \log_{a} M$ （其中 $M > 0 ， r \in R$ ）的“关键步骤”为.

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23. 一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存 $2 K B$ ，然后每 $3$ 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的 $2$ 倍，那么开机后经过分钟，该病毒占据 $64 M B$ 内存．（ $1 M B = 1024 K B$ ）

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