湖南省邵阳市2019-2020学年高三文数第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 = 0}$ ， $B = {x | x^{2} = 1}$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${- 1 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 2}$ D、 ${2}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z^{2} = 5 + 12 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $3 + 2 i$ 或 $- 3 - 2 i$ B、 $3 - 2 i$ 或 $- 3 + 2 i$ C、 $1 + 2 i$ 或 $1 - 2 i$ D、 $\pm 13$

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3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $3 π + 4$ B、 $3 π$ C、 $2 π$ D、 $π$

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4. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图（二）是折扇的示意图， $A$ 为 $O B$ 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{8}$

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5. 设 $a, b \in R$ ，则“ $a | a | > b | b |$ ”是“ $a^{3} > b^{3}$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x+y-3 \geq 0 \\ x-2y \leq 0 \end{array} ，则 z = x + 2 y$ 的取值范围是（）

A、[0，6] B、[0，4] C、[6， $+ \infty ）$ D、[4， $+ \infty ）$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}} \sin (x + α) ， x \in R$ ，则当 $α \in [0 ， π]$ 时函数 $f (x)$ 的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_{n} (n \geq 1)$ ，则该数列的前50项之和是（）

A、18 B、8 C、9 D、4

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9. 已知奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (x + 4)$ ，当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (\log_{2} 12) =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $\frac{23}{32}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{8}$

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10. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2 ， A A_{1} = 3$ ，点 $E$ 为棱 $B B_{1}$ 上的点，且 $B E = 2 E B_{1}$ ，则异面直线 $D E$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F ， P$ 是抛物线 $C$ 的准线上一点，且 $P$ 的纵坐标为正数， $Q$ 是直线 $P F$ 与抛物线 $C$ 的一个交点，若 $\overset{⇀}{P Q} = 2 \overset{⇀}{Q F}$ ，则直线 $P F$ 的方程为（）

A、 $\sqrt{3} x - y - \sqrt{3} = 0$ B、 $x + y - 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $\sqrt{3} x + y - \sqrt{3} = 0$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，对任意 $x \in (0 ， π)$ ，有 $f^{'} (x) \sin x < f (x) \cos x$ ，且 $f (x) + f (- x) = 0$ .设 $a = - 2 f (- \frac{π}{6}) ， b = \sqrt{2} f (\frac{π}{4}) ， c = f (\frac{π}{2})$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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二、填空题

13. 在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{A C} = (1, 2), \overset{⇀}{A B} = (- 4, 2)$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为．

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14. 为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件:
（i）老年人的人数多于中年人的人数;

（ii）中年人的人数多于青年人的人数;

（iii）青年人的人数的两倍多于老年人的人数.

①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为.

②抽取的总人数的最小值为．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x ， 0 \leq x \leq 2 \\ \sin \frac{π}{2} x ， 2 < x \leq 4 \end{array}$ ，若存在四个不同的实数 $| x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} =$ ．

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16. 已知 $O$ 为坐标原点，圆 $M$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $N$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ． $A ， B$ 分别为圆 $M$ 和圆 $N$ 上的动点，则 $S_{△ O A B}$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 a_{n} - a_{1}$ ，且满足 $a_{1}$ ， $a_{2} + \frac{1}{2}$ ， $a_{3}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求使 $| T_{n} - 2 | < \frac{1}{500}$ 成立 $n$ 的最小值.

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18. 已知函数 $f (x) = \cos x (\sin x + \sqrt{3} \cos x) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[m ， \frac{π}{6}]$ 上的最小值为 $- 1$ ，求 $m$ 的最大值.

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19. 如图，在平面图形 $P A B C D$ 中， $A B C D$ 为菱形， $∠ D A B = 60^{°} ， P A = P D = \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $C D$ 的中点，将 $Δ P A D$ 沿直线 $A D$ 向上折起，使 $B D ⊥ P M$ .

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若直线 $P M$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $30 °$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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20. 半圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1 (y \geq 0)$ 的直径的两端点为 $A (- 1, 0), B (1, 0)$ ,点 $P$ 在半圆 $O$ 及直径 $A B$ 上运动,若将点 $P$ 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点 $Q$ ,记点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程;

(2)、若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”,求曲线 $C$ 的“直径”.

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21. 已知 $f (x) = a x - \ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x \in [1 ， + \infty)$ ，都有 $x \cdot f (x) \geq a$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 某公司为提高市场销售业绩，设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采取促销”和“没有采取促销”的营销网点各选了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：

[- 5 ， 0)

，

[0 ， 5)

，

[5 ， 10)

，

[10 ， 15)

，

[15 ， 20]

，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.

“采用促销”的销售网点

“不采用促销”的销售网点

附①： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (k^{2} ⩾ k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	10.828

附②：对应一组数据 $(u_{1} ， v_{1}) ， (u_{2} ， v_{2}) ， (u_{3} ， v_{3}) ， \dots ， (u_{n} ， v_{n})$ ，

其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{10} (v_{i} - \bar{v}) (u_{i} - \bar{u})}{\sum_{i = 1}^{10} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

(1)、请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有

99 %

的把握认为“精英店与采促销活动有关”；

	采用促销	无促销	合计
精英店
非精英店
合计	50	50	100

(2)、某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价

x_{i}

（单位：元）和日销量

y_{i}

（单位：件）（

i = 1 ， 2 ， \dots ， 10

）的一组数据后决定选择

y = a + b x^{2}

作为回归模型进行拟合.具体数据如下表，表中的

w_{i} = x_{i}^{2}

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{w}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(w_{i} - \bar{w})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{10} (w_{i} - \bar{w}) (y_{i} - \bar{y})$
45.8	395.5	2413.5	4.6	21.6	$- 2.3$	$- 7.2$

①根据上表数据计算 $a$ ， $b$ 的值；

②已知该公司产品的成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价 $x$ 定为多少时日利润 $z$ 可以达到最大.

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