湖南省邵阳市2019-2020学年高三理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 z=cos3+isin3（ i 是虚数单位）对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设 $a, b \in R$ ，则“ $a | a | > b | b |$ ”是“ $a^{3} > b^{3}$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 在四边形 $A B C D 中， \vec{A C} = (1 ， 2) ， \vec{B D} = (- 4 ， 2) ，则该四边形的面积为$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $5$ D、 $10$

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4. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x+y-3 \geq 0 \\ x-2y \leq 0 \end{array} ，则 z = x + 2 y$ 的取值范围是（）

A、[0，6] B、[0，4] C、[6， $+ \infty ）$ D、[4， $+ \infty ）$

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5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $3 π + 4$ B、 $3 π$ C、 $2 π$ D、 $π$

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6. 函数 $f (x) = 1 + \log_{2} x$ 与 $g (x) = 2^{- x + 1}$ 在同一直角坐标系下的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知奇函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，若 $a = - f (\ln \frac{1}{2019}), b = f (\ln 2018), c = f (e^{0.5})$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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8. 设m为正整数，(x＋y)^2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)^2m^＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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9. 已知点 $P$ 是直线 $l ： 4 x - 3 y - 7 = 0$ 上动点，过点 $P$ 引圆 $C ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 两条切线 $P M ， P N$ ， $M ， N$ 为切点，当 $∠ M P N$ 的最大值为 $\frac{π}{2}$ 时，则 $r$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $1$

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10. 英国统计学家

E . H .

辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：

法官甲
终审结果	民事庭	行政庭	合计
维持	29	100	129
推翻	3	18	21
合计	32	118	150

法官乙
终审结果	民事庭	行政庭	合计
维持	90	20	110
推翻	10	5	15
合计	100	25	125

记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 和 $x$ ，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 和 $y$ ，则下面说法正确的是（）

A、

x_{1} < y_{1}

，

x_{2} < y_{2}

，

x > y

B、

x_{1} < y_{1}

，

x_{2} < y_{2}

，

x < y

C、

x_{1} > y_{1}

，

x_{2} > y_{2}

，

x > y

D、

x_{1} > y_{1}

，

x_{2} > y_{2}

，

x < y

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11. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，抛物线 $l_{1} ， l_{2}$ 的焦点为 $F$ ．若在 $E$ 的渐近线上存在点 $P$ ，使得 $\vec{A P} ⊥ \vec{F P}$ ，则 $E$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, \frac{3 \sqrt{2}}{4}]$ C、 $[\frac{3 \sqrt{2}}{4}, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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12. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知异面直线 $P B$ 与 $A D$ 所成的角为 $60^{0}$ ，给出下面三个命题：
$p_{1}$ ：若 $A B = 2$ ，则此四棱锥的侧面积为 $4 + 4 \sqrt{3}$ ；
$p_{2}$ ：若 $E ， F$ 分别为 $P C ， A D$ 的中点，则 $E F / /$ 平面 $P A B$ ；
$p_{3}$ ：若 $P ， A ， B ， C ， D$ 都在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的表面积是四边形 $A B C D$ 面积的 $2 π$ 倍.
在下列命题中，为真命题的是（）

A、 $p_{2} \land p_{3}$ B、 $p_{1} \lor (\neg p_{2})$ C、 $p_{1} \land p_{3}$ D、 $p_{2} \land (\neg p_{3})$

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二、填空题

13. 已知 $α$ 为三角形内角， $\sin α - \cos α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $\cos 2 α =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x ， 0 \leq x \leq 2 \\ \sin \frac{π}{2} x ， 2 < x \leq 4 \end{array}$ ，若存在四个不同的实数 $| x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} =$ ．

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15. 为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件:
（i）老年人的人数多于中年人的人数;

（ii）中年人的人数多于青年人的人数;

（iii）青年人的人数的两倍多于老年人的人数.

①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为.

②抽取的总人数的最小值为．

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16. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆 $O$ 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆 $O$ 的一个“太极函数”，则下列有关说法中：

①对于圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数；

②函数 $f (x) = sin x + 1$ 是圆 $O ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的一个太极函数；

③直线 $(m + 1) x - (2 m + 1) y - 1 = 0$ 所对应的函数一定是圆 $O ： {(x - 2)}^{2} + (y - 1) {}^{2}= R^{2} (R > 0)$ 的太极函数；

④若函数 $f (x) = k x^{3} - k x (k \in R)$ 是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 的太极函数，则 $k \in (- 2 ， 2) .$

所有正确的是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中,角 $A, B, C$ 所对的边为 $a, b, c$ ,且 $a \sin A + c \sin C - \sqrt{3} a \sin C = b \sin B$ .

(1)、求角 $B$ 的大小;

(2)、若 $f (x) = \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,求 $f (\frac{A}{2})$ 的取值范围.

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18. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 中, $a_{1} = 1, a_{n + 1}^{2} - 2 a_{n + 1} a_{n} - 3 a_{n}^{2} = 0$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式;

(2)、若数列 ${b_{n} - a_{n}}$ 是等差数列,且 $b_{1} = 2$ , $b_{3} = 14$ ,求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ， $A C \cap B D = O$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，将菱形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折起，使 $A C = a$ ，得到三棱锥 $A - B C D$ ，如图所示.
$\Rightarrow$

(1)、当 $a = 2 \sqrt{2}$ 时，求证： $A O ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、当二面角 $A - B D - C$ 的大小为 $120 °$ 时，求直线 $A D$ 与平面 $A B C$ 所成的正切值.

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20. 半圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1 (y \geq 0)$ 的直径的两端点为 $A (- 1, 0), B (1, 0)$ ,点 $P$ 在半圆 $O$ 及直径 $A B$ 上运动,若将点 $P$ 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点 $Q$ ,记点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程;

(2)、若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”,求曲线 $C$ 的“直径”.

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21. 某地政府为了帮助当地农民脱贫致富,开发了一种新型水果类食品,该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时,销售价为每件12元,当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂,每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关,根据市场调查,若气温不低于

30 ℃

,则销售5000件;若气温位于

[25 ℃, 30 ℃)

,则销售3500件;若气温低于

25 ℃

,则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划,统计了前三年8月份的气温范围数据,得到下面的频数分布表:

气温范围

(单位: $℃$ )

$[15, 20)$

$[20, 25)$

$[25, 30)$

$[30, 35)$

$[35, 40)$

天数

以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.

(1)、求今年8月份这种食品一天销售量(单位:件)的分布列和数学期望值;

(2)、设8月份一天销售这种食品的利润为

y

(单位:元),当8月份这种食品一天生产量

n

(单位:件)为多少时,

y

的数学期望值最大,最大值为多少

？

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22. 已知函数 $f (x)$ 为反比例函数，曲线 $g (x) = f (x) \cos x + b$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 处的切线方程为 $y = - \frac{6}{π} x + 2$ .

(1)、求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $F (x) = g (x) + 1 - \frac{3}{2 π}$ 在区间 $(0 ， 2 π]$ 内的零点的个数，并证明.

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