重庆市2020届高三上学期文数期末测试卷（一诊康德卷)

试卷更新日期：2020-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 2 x > 0}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 ${- 1, 3}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${0}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 设复数z满足 $1 + 3 i z = z$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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3. 在区间 $[- 2, 2]$ 内随机取一个数a ，则关于x的方程 $x^{2} - 2 x + a = 0$ 无实根的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 函数 $f (x) = 2^{- \log_{2} | x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $a \in R$ ，则“ $a < \frac{1}{2}$ ”是“ $\frac{1}{a} > 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：

①样本数据落在区间 $[300 ， 500)$ 的频率为0.45；②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 已知平面非零向量 $\vec{a},$ $\vec{b}$ 满足： $(\vec{a} + 4 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $- \frac{1}{2} | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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9. 已知非零实数a ， b满足 $a > | b | + 1$ ，则下列不等关系不一定成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2} + 1$ B、 $2^{a} > 2^{b + 1}$ C、 $a^{2} > 4 b$ D、 $| \frac{a}{b} | > b + 1$

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10. 如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为 $\sqrt{5} - 1$ 和3，则此组合体的外接球的表面积是（）

A、 $16 π$ B、 $20 π$ C、 $24 π$ D、 $28 π$

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11. 已知AB是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的任意一条直径，点P在直线 $x + 2 y - a = 0 (a > 0)$ 上运动，若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为4，则实数a的值为（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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12. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c, 0)$ ，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A ， B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点 $P (2 c, 0)$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、填空题

13. 曲线 $y = (x + \sin x) e^{x}$ 在点 $(0 ， 0)$ 处的切线方程为.

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14. 函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{2}) + 2 \cos (x + π)$ 的最大值为.

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15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 + a_{n + 1}$ ，则 $a_{1} =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \leq a \\ {(\frac{1}{2})}^{x} ， x > a \end{array}$ ，若 $f (x)$ 的值域为 $(0 ， + \infty)$ ，则实数a的取值范围是.

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三、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{3} = 6,$ $S_{n} = λ n^{2} + n,$ $λ \in R$ .

(1)、求 $λ$ 的值及 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{S_{n} + n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和.

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18. 某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植.工作小组根据市场前景重点考察了A ， B两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A ， B各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A ， B株数之比为1：3.

参考公式及数据：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}},$ $\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 250,$

$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 320$ .

(1)、完成2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A ， B的成活率有差异？

	A	B	合计
成活株数
未成活株数
合计	50	50	100

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	7.879	10.828

(2)、已知树苗A经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A在市场上出售，但每株售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树A的相关数据进行统计，得到结果如下表：

直径x	10	15	20	25	30
单株售价y	4	8	10	16	27

根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说明.（一般认为， $| r | > 0.75$ 为高度线性相关）

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19. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E ， F ， G ， H分别是棱 $C C_{1} ，$ $D D_{1} ，$ $B_{1} C_{1} ，$ $A_{1} D_{1}$ 的中点，直线AF与DH交于点P ，直线BE与CG交于点S.

(1)、求证：直线 $P S ∥$ 平面ABCD；

(2)、求四棱锥B-PDCS的体积.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，点 $P (0, 3)$ ，直线 $l : y = k x - 1$ 与椭圆C交于不同的两点M ， N.

(1)、当 $k = \frac{1}{2}$ 时，求 $△ P M N$ 的面积；

(2)、设直线PM与椭圆C的另一个交点为Q ，当M为线段PQ的中点时，求k的值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + a \ln x - 1 ，$ $a \in R$ .

(1)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点，求a的值及 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x \in [1 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) \geq 0$ 成立，求a的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} - 8 ρ \cos θ - 6 ρ \sin θ - 11 = 0$ .

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t \cos α \\ y = t \sin α \end{array}$ ，（t为参数， $0 \leq a < π$ ），点 $P (1, 0)$ ，直线l交曲线C于A ， B两点，求 $| P A | + | P B |$ 的取值范围.

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23. 已知不等式 $| x - 2 | - | x - m | \leq 1$ 对任意 $x \in R$ 成立，记实数m的最小值为 $m_{0}$ .

(1)、求 $m_{0}$ ；

(2)、已知实数a ， b ， c满足： $a + b + 2 c = m_{0},$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} = \frac{3}{16}$ ，求C的最大值.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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