重庆市2020届高三上学期理数期末测试卷（一诊康德卷)

试卷更新日期：2020-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设复数z满足 $1 + 3 i z = z$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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2. 已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} + 2 x - 8 < 0},$ $B = {x^{2} | x \in A}$ ，则B中元素个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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3. 函数 $f (x) = 2^{- \log_{2} | x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 $a \in R$ ，则“ $a < \frac{1}{2}$ ”是“ $\frac{1}{a} > 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：

①样本数据落在区间 $[300 ， 500)$ 的频率为0.45；②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有（）

A、36种 B、54种 C、58种 D、72种

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7. 已知平面非零向量 $\vec{a},$ $\vec{b}$ 满足： $(\vec{a} + 4 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $- \frac{1}{2} | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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8. 已知非零实数a ， b满足 $a > | b | + 1$ ，则下列不等关系不一定成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2} + 1$ B、 $2^{a} > 2^{b + 1}$ C、 $a^{2} > 4 b$ D、 $| \frac{a}{b} | > b + 1$

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9. 孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位，它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法.右图是某同学为寻找共同余数为2的整数n而设计的程序框图，若执行该程序框图，则输出的结果为（）

A、29 B、30 C、31 D、32

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10. 已知AB是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的任意一条直径，点P在直线 $x + 2 y - a = 0 (a > 0)$ 上运动，若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为4，则实数a的值为（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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11. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c, 0)$ ，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A ， B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点 $P (2 c, 0)$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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12. 关于函数 $f (x) = \sin 2 x \cdot | \sin x |$ 有下述四个结论：
① $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称② $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3}{4}$ ③ $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3})$ 上单调递增④ $f (x)$ 是周期函数且最小正周期为 $π$ 其中所有正确结论的编号是（）

A、①② B、①③ C、①④ D、②④

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二、填空题

13. 甲乙两队正在角逐排球联赛的冠军，在刚刚结束的前三局比赛中，甲队2胜1负暂时领先，若规定先胜三局者即为本次联赛冠军，已知两队在每局比赛中获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且各局比赛结果相互独立，则甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为.

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14. 已知 ${(1 - m x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} x^{7}$ ，若 $a_{4} = 35$ ，则实数 $m =$ .

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15. 已知 $α + β = \frac{π}{6},$ $\tan α = 2 \tan β$ ，则 $\sin (α - β) =$ .

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} \cos (n + 1) π + 3 n$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前40项和为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \sin^{2} x - \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， M为BC边上一点， $B M = 3 M C$ ，若 $f (A) = 1$ ， $b = 2,$ $c = 3$ ，求AM.

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18. 某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗的种植.工作小组根据市场前景重点考察了A ， B ， C三种景观树苗，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为0.75.

(1)、若引种树苗A ， B ， C各一棵，求至少自然成活2棵的概率；

(2)、已知引种一棵树苗B需花费100元，引种后没有自然成活的树苗B中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理，每棵需花费50元，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.引种后自然成活的树苗B及经人工栽培技术处理后成活的树苗B在后期（成活后至长成可出售的小树）的培养过程中每棵均需再花费200元，记引种一棵树苗B的总花费为X元，求随机变量X的分布列及数学期望.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} + n^{2}$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} - 2 n - 3}$ 是等比数列；

(2)、设 $b_{n} = 2 n - a_{n}$ ，证明： $\frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{n}} < \frac{2}{3}$ .

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20. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与x轴的正半轴交于点A ，过圆O上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q ，线段PQ的中点的轨迹记为曲线 $Γ$ ，设过原点O且异于两坐标轴的直线与曲线 $Γ$ 交于B ， C两点，直线AB与圆O的另一个交点为M ，直线AC与圆O的另一个交点为N ，设直线AB ， AC的斜率分别为 $k_{1} ，$ $k_{2}$ .

(1)、求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(2)、判断 $\frac{| A B |}{| A M |} + \frac{| A C |}{| A N |}$ 是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x - 2) ， g (x) = x - \ln x$ .

(1)、求函数 $y = f (x) + g (x)$ 的最小值；

(2)、设函数 $h (x) = f (x) - a g (x)$ $(a \neq 0)$ ，讨论函数 $h (x)$ 的零点个数.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} - 8 ρ \cos θ - 6 ρ \sin θ - 11 = 0$ .

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t \cos α \\ y = t \sin α \end{array}$ ，（t为参数， $0 \leq a < π$ ），点 $P (1, 0)$ ，直线l交曲线C于A ， B两点，求 $| P A | + | P B |$ 的取值范围.

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23. 已知不等式 $| x - 2 | - | x - m | \leq 1$ 对任意 $x \in R$ 成立，记实数m的最小值为 $m_{0}$ .

(1)、求 $m_{0}$ ；

(2)、已知实数a ， b ， c满足： $a + b + 2 c = m_{0},$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} = \frac{3}{16}$ ，求C的最大值.

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重庆市2020届高三上学期理数期末测试卷（ 一诊康德卷)

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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