云南省大理、丽江、怒江2020届高中毕业生理数第二次复习统一检测试卷

试卷更新日期：2020-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {y | y = 3^{x}, x > 0}$ ， $N = {x | y = \lg (3 x - x^{2})}$ ，则 $M \cap N$ 为（）

A、 $\emptyset$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $(1, 3)$

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2. 设 $i$ 是虚数单位，如果复数 $\frac{a + i}{2 + i}$ 的实部与虚部是互为相反数，那么实数 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $3$ D、 $- 3$

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3. 甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）

A、丙被录用了 B、乙被录用了 C、甲被录用了 D、无法确定谁被录用了

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4. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若 $m \subset α$ ， $n / / α$ ，则 $m$ ， $n$ 为异面直线；②若 $m ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ， $m ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ γ$ ；

③若 $α / / γ$ ， $β / / γ$ ，则 $α / / β$ ；④若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m / / n$ ，则 $α ⊥ β$ .

则上述命题中真命题的序号为（）

A、①② B、③④ C、②③ D、②④

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5. 若正整数 $N$ 除以正整数 $m$ 后的余数为 $n$ ，则记为 $N \equiv n (\mod m)$ ，例如 $10 \equiv 3 (\mod 7)$ . 下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出 $n$ 的值等于（）

A、29 B、30 C、31 D、32

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6. 曲线 $y = \ln x - \frac{2}{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $\cos α + \sin α$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\pm \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - 4 ， x \geq 0 \\ e^{- x} - 4 ， x < 0 ， \end{array}$ $g (x) = x^{2}$ ，则函数 $y = f (x) \cdot g (x)$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2 n} = 3 (a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots \dots + a_{2 n - 1}) (n \in N^{⋆})$ ， $a_{1} a_{2} a_{3} = 8$ ,则 $S_{8} =$ （）

A、510 B、255 C、127 D、6540

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9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{9}{2} π$ B、 $9 π$ C、 $12 π$ D、 $16 π$

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10. 已知 $t > 1$ ， $x = \log_{2} t, y = \log_{3} t, z = \log_{5} t$ ，则

A、 $2 x < 3 y < 5 z$ B、 $5 z < 2 x < 3 y$ C、 $3 y < 5 z < 2 x$ D、 $3 y < 2 x < 5 z$

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11. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P$ 、 $Q$ 两点，且 $P Q ⊥ P F_{1}$ ， $| P Q | = | P F_{1} |$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6} - \sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $9 - 6 \sqrt{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = 4 \sin (2 x - \frac{π}{6}) ， x \in [0 ， \frac{46 π}{3}]$ ，若函数 $F (x) = f (x) - 3$ 的所有零点依次记为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， \dots ， x_{n}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < \dots < x_{n}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + \dots + 2 x_{n - 1} + x_{n}$ =（）

A、 $\frac{1276 π}{3}$ B、 $445 π$ C、 $455 π$ D、 $\frac{1457 π}{3}$

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二、填空题

13. 在 $(x + y) {(x - y)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3} y^{3}$ 的系数是.

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14. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”.其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为.

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线均与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$ 相切，且双曲线的右焦点为圆 $C$ 的圆心，则双曲线的方程为.

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16. 平行四边形ABCD中， $A B = 3, A D = 2, ∠ B A D = 120^{\circ}, P$ 是平行四边形ABCD内一点，且 $A P = 1$ ，若 $\overset{⇀}{A P} = x \overset{⇀}{A B} + y \overset{⇀}{A D}$ ，则 $3 x + 2 y$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = - 6$ ，且 $b \sin C + c \sin B = 4 a \sin B \sin C$ .

(1)、求 $\cos A$ ；

(2)、求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取工厂 $60$ 元，对于提供的软件服务每次 $10$ 元；

方案二：软件服务公司每日收取工厂 $200$ 元，若每日软件服务不超过 $15$ 次，不另外收费，若超过 $15$ 次，超过部分的软件服务每次收费标准为 $20$ 元．

(1)、设日收费为 $y$ 元，每天软件服务的次数为 $x$ ，试写出两种方案中 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、该工厂对过去 $100$ 天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．

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19. 在四棱锥P–ABCD中， $A B / / C D$ ， $C D = 2 A B$ ．

(1)、设AC与BD相交于点M， $\overset{⇀}{A N} = m \overset{⇀}{A P} (m > 0)$ ，且 $M N / /$ 平面PCD ，求实数m的值；

(2)、若 $A B = A D = D P$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $P B = \sqrt{2} A D$ ，且 $P D ⊥ A D$ ，求二面角 $A - P C - B$ 的余弦值．

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20. 设函数 $f (x) = x e^{x} + a (1 - e^{x}) + 1$ ， $a \in R$ .
（I）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若方程 $f (x) = 0$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有解，证明： $a > 2$ .

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21. 设 $A$ 、 $B$ 为曲线 $C ： y = \frac{x^{2}}{4}$ 上两点， $A$ 与 $B$ 的横坐标之和为 $4$ .

(1)、求直线 $A B$ 的斜率；

(2)、设弦 $A B$ 的中点为 $N$ ，过点 $A$ 、 $B$ 分别作抛物线的切线，则两切线的交点为 $E$ ，过点 $E$ 作直线 $l$ ，交抛物线于 $P$ 、 $Q$ 两点，连接 $N P$ 、 $N Q$ .证明： $k_{E A} + k_{E B} = k_{N P} + k_{N Q} = 2 k_{A B}$ .

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22. 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程 ${\begin{matrix} x = 1 + c o s φ \\ y = s i n φ \end{matrix}$ （φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求圆C的极坐标方程；

(2)、直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+ $\frac{π}{3}$ ）=3 $\sqrt{3}$ ，射线OM：θ= $\frac{π}{3}$ 与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

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23. 设函数 $f (x) = | x - 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (3 + x) + f (3 - x) \geq 6$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x - 1) - f (x + 4) > a x + b$ 的解集为实数集 $R$ ，求 $a + b$ 的取值范围.

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