新疆乌鲁木齐地区2020届高三理数第一次质量监测试卷

试卷更新日期：2020-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 8 < 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 9 \leq 0}$ ，则集合 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 2, 3]$ B、 $(- 4, 3]$ C、 $[- 3, 2)$ D、 $[- 3, 4)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = | 3 + 4 i |$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的两条渐近线互相垂直，焦距为 $6 \sqrt{2}$ ，则该双曲线的实轴长为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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4. 已知 $m$ ， $n$ 为两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $α ⊥ β$ ， $γ ⊥ β$ 且 $α \cap γ = m$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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5. 数列 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，且 $a_{1}$ ， $a_{4}$ ， $a_{13}$ 成等比数列，则 $S_{4} =$ （）

A、8 B、12 C、16 D、24

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6. 若正整数 $n$ 除以正整数 $m$ 的余数为 $r$ ，则记为 $r = n M O D m$ ，例如 $2 = 12 M O D 5$ .如图程序框图的算法源于我国古化著名的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的 $i$ 等于（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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7. 为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨).将数据按照 $[0 ， 0.5)$ ，…， $[4 ， 4.5]$ 分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图.政府要试行居民用水定额管理，制定一个用水量标准 $a$ .使 $85 %$ 的居民用水量不超过 $a$ ，按平价收水费，超出 $a$ 的部分按议价收费，则以下比较适合做为标准 $a$ 的是（）

A、2.5吨 B、3吨 C、3.5吨 D、4吨

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8. 天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯( $H i p p a r c h u s$ ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森( $M . R . P o g s o n$ )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 $m_{1} - m_{2} = 2.5 (\lg E_{2} - \lg E_{1})$ .其中星等为 $m_{i}$ 的星的亮度为 $E_{i} (i = 1, 2)$ .已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的 $r$ 倍，则与 $r$ 最接近的是(当 $| x |$ 较小时， $10^{x} \approx 1 + 2.3 x + 2.7 x^{2}$ )

A、1.24 B、1.25 C、1.26 D、1.27

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9. 已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} (x + \frac{π}{6}) + \sqrt{3} \sin (2 x + \frac{π}{3}) - 1$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{6}$ 对称 B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 的值域为 $[- 3 ， 1]$ D、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上是增函数

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10. 已知 $α \in (0, \frac{π}{4})$ ， $a = {(\sin α)}^{\sin α}$ ， $b = {(\sin α)}^{\cos α}$ ， $c = {(\cos α)}^{\sin α}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过点 $F$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交抛物线于点 $M$ （ $M$ 在第一象限）， $M N ⊥ l$ 于点 $N$ ，直线 $N F$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，则 $| M D | =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x - 1 ， x \geq 1 \\ \frac{1}{3} (x + 2) ， x < 1 \end{array}$ ，若 $α < β$ 且 $f (α) = f (β)$ ，则 $β - α$ 的取值范围是（）

A、 $[8 - 3 \ln 3 ， 6]$ B、 $[8 - 3 \ln 3 ， e^{2} - 1)$ C、 $[9 - 4 \ln 3 ， 6]$ D、 $[9 - 4 \ln 3 ， e^{2} - 1)$

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二、填空题

13. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) = 2$ ，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角的大小为．

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14. 造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以 $A0$ 、 $A1$ 、…、 $A10$ ； $B0$ 、 $B1$ 、…、 $B10$ 等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用 $A$ 系列和 $B$ 系列，其中 $A$ 系列的幅面规格为：① $A0$ 规格的纸张的幅宽（以 $x$ 表示）和长度（以 $y$ 表示）的比例关系为 $x : y = 1 : \sqrt{2}$ ；②将 $A0$ 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 $A1$ 规格. $A1$ 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 $A2$ 规格，…，如此对开至 $A8$ 规格.现有 $A0$ 、 $A1$ 、 $A2$ 、…、 $A8$ 纸各一张.若 $A4$ 纸的面积为 $624 c m^{2}$ ，则这9张纸的面积之和等于 $c m^{2}$ .

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15. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，有下列四个命题：
① $B C_{1}$ 与平面 $B C D_{1} A_{1}$ 所成角为 $30 °$ ；

②三棱锥 $A - A_{1} B D$ 与三棱锥 $C_{1} - A_{1} B D$ 的体积比为 $1 ： 2$ ；

③过点 $A$ 作平面 $α$ ，使得棱 $A B$ ， $A D$ ， $A A_{1}$ 在平面 $α$ 上的正投影的长度相等，则这样的平面 $α$ 有且仅有一个；

④过 $B D_{1}$ 作正方体的截面，设截面面积为 $S$ ，则 $S$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

上述四个命题中，正确命题的序号为.

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三、解答题

16. 已知点 $N$ 在圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y + 7 = 0$ 上，点 $M$ 在直线 $3 x - 4 y + 6 = 0$ 上，则 $| M N |$ 的最小值为.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B C D$ 是正方形， $E$ 是 $C D$ 中点，点 $F$ 在 $B C$ 上，且 $B F = 3 F C$ .

(1)、证明 $E F ⊥$ 平面 $P A E$ ；

(2)、若 $P A = \frac{5}{4} A B$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P E F$ 所成二面角的正弦值.

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18. 已知 $Δ A B C$ 的面积为3， $B C$ 边上的高是2， $\tan A = 3$ .

(1)、求 $Δ A B C$ 外接圆的半径；

(2)、求 $A B$ 和 $A C$ 的长.

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19. 在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等.更要精心设计问卷.设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝冋答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问题.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球.摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子.

(1)、你能否估算出中学生早恋人数的百分比？

(2)、若从该地区中学生中随机抽取一个班（40人），设其中恰有 $X$ 个人存在早恋的现象，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x \ln x - x$ （ $a \in R$ ）.

(1)、当 $a = \frac{1}{e}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e ， f (e))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在定义域内为单调函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 点 $P (x, y)$ 与定点 $F (- 1, 0)$ 的距离和它到直线 $l : x = - 3$ 的距离的比是常数 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，设点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，设 $A B$ 的中点为 $M$ ， $C$ ， $D$ 两点为曲线 $E$ 上关于原点 $O$ 对称的两点，且 $\vec{C O} = λ \vec{O M}$ （ $λ > 0$ ），求四边形 $A C B D$ 面积的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $E$ 的极坐标方程为 $ρ = 2$ ，四边形 $A B C D$ 的四个顶点都在曲线 $E$ 上.

(1)、求曲线 $E$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $P (1, 1)$ ，求 $| P A | \cdot | P B | \cdot | P C | \cdot | P D |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) \geq x^{2} - a x + 1$ 的解集包含 $[- 1, 1]$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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