湖北省武汉市2020届高三下学期文数3月质量检测试卷

试卷更新日期：2020-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R ，则实数a＝（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、﹣2

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2. 已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（）

A、[﹣3，2） B、（﹣3，2） C、（﹣1，0] D、（﹣1，0）

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3. 同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{18}$ D、 $\frac{5}{12}$

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4. 执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{13}{8}$ D、 $\frac{21}{13}$

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5. 已知数列{a_n}的前n项之和S_n＝n²+1，则a₁+a₃＝（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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6. 圆C₁：x²+y²＝4与圆C₂：x²+y²﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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7. 已知tan（ $α + \frac{π}{4}$ ）＝7，且 $π < α < \frac{3 π}{2}$ ，则sinα＝（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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8. 若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为60°的两个单位向量，而 $\vec{a} =$ 2 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = -$ 3 $\vec{e_{1}} +$ 2 $\vec{e_{2}}$ ，则向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9. 已知函数f（x）＝sin²x+sin²（x $+ \frac{π}{3}$ ），则f（x）的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10.
在正方形SG₁G₂G₃中，E、F分别是G₁G₂及G₂G₃的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G₁、G₂、G₃三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（　　）

A、SG⊥△EFG所在平面 B、SD⊥△EFG所在平面 C、GF⊥△SEF所在平面 D、GD⊥△SEF所在平面

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11. 如果关于x的不等式x³﹣ax²+1≥0在[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、a≤0 B、a≤l C、a≤2 D、a $\leq \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2}$

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12. 已知△ABC的三边分别为a ， b ， c ，若满足a²+b²+2c²＝8，则△ABC面积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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二、填空题

13. 函数f（x）＝xlnx+1在点（e ， e+l）处的切线方程为．

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14. 若函数f（x） $= \frac{c o s x + a}{s i n x}$ 在（0， $\frac{π}{2}$ ）上单调递减，则实数a的取值范围为．

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15. 已知 $M = x \sqrt{1 - y^{2}} + y \sqrt{1 - x^{2}}$ ，则M的最大值为．

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16. 根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东45°方向的600km处的热带风暴中心B正以30km/h的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过小时后该码头A将受到热带风暴的影响（精确到0.01）．

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三、解答题

17. 若等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，满足a₄﹣a₁＝S₃ ， a₅﹣a₁＝15．

(1)、求数列{a_n}的首项a₁和公比q；

(2)、若a_n＞n+100，求n的取值范围．

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18. 如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P ， Q ， L分别为棱A₁D₁ ， C₁D₁ ， BC的中点．

(1)、求证：AC⊥QL；

(2)、求四面体DPQL的体积．

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19. 一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准重量是500g ，为了了解这些白糖的实际重量，称量出各袋白糖的实际重量（单位：g）如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510

(1)、求这10袋白糖的平均重量 $\bar{x}$ 和标准差s；

(2)、从这10袋中任取2袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在（ $\bar{x} -$ s ， $\bar{x} +$ s）的概率是多少？（附： $\sqrt{25.8} \approx$ 5.08， $\sqrt{258} \approx$ 16.06， $\sqrt{25.9} \approx$ 5.09， $\sqrt{259} \approx$ 16.09）

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20. 已知抛物线Γ：y²＝2px（p＞0）的焦点为F ， P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足 $\vec{F P} =$ （2，2 $\sqrt{3}$ ）

(1)、求抛物线Γ的方程；

(2)、已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M ， N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．

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21.

(1)、研究函数f（x） $= \frac{s i n x}{x}$ 在（0，π）上的单调性。

(2)、求函数g（x）＝x²+πcosx的最小值．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 5 c o s α \\ y = 4 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂：ρ²﹣4ρcosθ+3＝0．

(1)、求曲线C₁的一般方程和曲线C₂的直角坐标方程；

(2)、若点P在曲线C₁上，点Q曲线C₂上，求|PQ|的最小值．

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23. 已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣a+1|．

(1)、当a＝4时，求解不等式f（x）≥8；

(2)、已知关于x的不等式f（x） $\geq \frac{a^{2}}{2}$ 在R上恒成立，求参数a的取值范围．

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