湖北省随州市2020届高三下学期文数3月调研考试试卷

试卷更新日期：2020-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集为 $R$ ，集合 $M = {x | 0 \leq x < 2}$ ， $N = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $(∁_{R} M) \cap N =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$

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2. 设复数 $z = \frac{2 i}{1 + i} - 3 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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3. 设 $a = \log_{3} \frac{1}{5}$ ， $b = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{5}$ ， $c = 3^{- \frac{1}{5}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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4. 已知角 $α \in (0 ， π)$ ，角 $α$ 的终边经过点 $A (\cos \frac{7 π}{6} ， \sin \frac{π}{6})$ ，则 $α =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 3 S_{2}$ ，且 $a_{2} + a_{6} = 15$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、8 B、6 C、4 D、2

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6. 已知 $m$ ， $n$ 是空间内两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n // α$ B、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ， $n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $α \cap β = m$ ， $n // α$ ，则 $m // n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n // β$ ， $α // β$ ，则 $m ⊥ n$

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7. 已知曲线 $y = f (x)$ 在点 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = 3 x + 1$ ，则曲线 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$ 在点 $x = 0$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x - 1$ B、 $y = 2 x + 1$ C、 $y = x - 1$ D、 $y = x + 1$

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8. 执行如图的程序框图，最后输出结果为8.若判断框填入的条件是 $s \geq a$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(21 ， 28]$ B、 $[21 ， 28)$ C、 $(28 ， 36]$ D、 $[28 ， 36)$

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9. 函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x + \cos ω x - 1 (a > 0)$ 的最小正周期是 $π$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 100]$ 上的零点个数为（）

A、31 B、32 C、63 D、64

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10. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F$ 作一条渐近线的垂线，垂足为点 $A$ ，垂线交 $y$ 轴于点 $B$ ，且 $\vec{A B} = 3 \vec{F A}$ .若 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ （ $O$ 是坐标原点），则双曲线的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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11. 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母 $π$ 表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计 $π$ 的值：在区间 $(0 ， 1)$ 内随机取 $2 m$ 个数，构成 $m$ 个数对 $(x ， y)$ ，设 $x$ ， $y$ 能与1构成钝角三角形三边的数对 $(x ， y)$ 有 $n$ 对，则通过随机模拟的方法得到的 $π$ 的近似值为（）

A、 $\frac{m + 2 n}{m}$ B、 $\frac{m + 2 n}{n}$ C、 $\frac{2 m + 4 n}{m}$ D、 $\frac{m + 2 n}{2 n}$

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12. 已知三棱锥 $S - A B C$ 的所有顶点在球 $O$ 的球面上， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $S A = A B = A C = 2$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，过点 $D$ 作球 $O$ 的截面，则截面面积的最小值是（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $\vec{b} = (- \sqrt{3}, m)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则实数 $m =$ .

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14. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线与 $x$ 轴相交于点 $C$ .若以 $F$ 为圆心、 $p$ 为半径的圆与抛物线相交于点 $A$ ， $B$ ，则 $\sin ∠ A C F =$ .

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15. 2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ （单位：十万只），若这组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 的方差为1.44，且 $x_{1}^{2}$ ， $x_{2}^{2}$ ， $x_{3}^{2}$ ， $x_{4}^{2}$ ， $x_{5}^{2}$ 的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩十万只.

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16. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足：① $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ；② $a_{n} + a_{n + 1} = 2 b_{n}$ ， $b_{n} b_{n + 1} = a_{n + 1}^{2}$ .则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} =$ .

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三、解答题

17. 某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照

10 : 1

的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：

男生身高频率分布表

男生身高

（单位：厘米）

$[160, 165)$

$[165, 170)$

$[170, 175)$

$[175, 180)$

$[180, 185)$

$[185, 190]$

频数

女生身高频数分布表

女生身高

（单位：厘米）

$[150, 155)$

$[155, 160)$

$[160, 165)$

$[165, 170)$

$[170, 175)$

$[175, 180]$

频数

(1)、估计这1000名学生中女生的人数；

(2)、估计这1000名学生中身高在

[170, 190]

的概率；

(3)、在样本中，从身高在

[170, 180]

的女生中任取2名女生进行调查，求这2名学生身高在

[170, 175)

的概率.（身高单位：厘米）

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18. 如图，平面 $A B C D \cap$ 平面 $A B E F = A B$ ，四边形 $A B C D$ 和 $A B E F$ 都是边长为2的正方形，点 $M$ ， $N$ 分别是 $A F$ ， $A B$ 的中点，二面角 $D - A B - F$ 的大小为60°.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $B C F$ ；

(2)、求三棱锥 $M - B C F$ 的体积.

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19. $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的外接圆半径为 $R$ ，面积为 $S$ ，已知 $A$ 为锐角，且 $(b^{2} + c^{2} - 2 R^{2}) \tan A = 4 S$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 1$ ，求 $S$ 的最大值.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，过 $C$ 的焦点且垂直于 $x$ 轴的直线被 $C$ 截得的弦长为 $\sqrt{2}$ ，椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、经过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线与 $y$ 轴相交于点 $(0, \frac{1}{3})$ ，求直线 $l$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + 2 a x^{2} + x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ .

(1)、若 $f^{'} (x) \leq \frac{2}{x} - 1$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 的极值为正数，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ ，（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程与圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (1, 0)$ ，直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，设 $| P B | = λ | P A | (λ > 1)$ ，求实数 $λ$ .

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x + 1 | + | x - 2 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 6$ ；

(2)、设函数 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a b + a - b = m + 2$ ，求 $a + b$ 的最小值.

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