湖北省随州市2020届高三下学期理数3月调研考试试卷

试卷更新日期：2020-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | \frac{1}{x} \geq 1}$ ， $N = {x | 2 x^{2} + x - 1 \leq 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq \frac{1}{2}}$ B、 ${x | - \frac{1}{2} \leq x \leq 1}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq \frac{1}{2}}$ D、 ${x | 0 < x \leq 1}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 - 3 i}{1 - i}$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点，到点 $(- 1, 2)$ 的距离为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线的倾斜角之差为 $\frac{2 π}{3}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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4. 已知 $m$ ， $n$ 是空间内两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n // α$ B、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ， $n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $α \cap β = m$ ， $n // α$ ，则 $m // n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n // β$ ， $α // β$ ，则 $m ⊥ n$

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5. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ，向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向上的投影为3，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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6. 函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x + \cos ω x - 1 (a > 0)$ 的最小正周期是 $π$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 100]$ 上的零点个数为（）

A、31 B、32 C、63 D、64

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7. 在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小项的系数为（）

A、-126 B、-70 C、-56 D、-28

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8. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1} \cdot \sin x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 若 $2 \sin (α + \frac{π}{3}) = 3 \sin α - \sqrt{7}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 已知 $a = {(1 + \frac{1}{e})}^{e}$ ， $b = {(1 + \frac{1}{π})}^{π}$ ， $c = 4^{\frac{1}{3}}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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11. 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母 $π$ 表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计 $π$ 的值：在区间 $(0 ， 1)$ 内随机取 $2 m$ 个数，构成 $m$ 个数对 $(x ， y)$ ，设 $x$ ， $y$ 能与1构成钝角三角形三边的数对 $(x ， y)$ 有 $n$ 对，则通过随机模拟的方法得到的 $π$ 的近似值为（）

A、 $\frac{m + 2 n}{m}$ B、 $\frac{m + 2 n}{n}$ C、 $\frac{2 m + 4 n}{m}$ D、 $\frac{m + 2 n}{2 n}$

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12. 在 $R t △ A B C$ 中，角 $C = \frac{π}{2}$ ，点 $D$ 是边 $A C$ 上一点，点 $E$ 在 $B D$ 上.若 $C D = 1$ ， $∠ D A E = ∠ D E A = ∠ A B C$ ，则 $B E =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 若函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{2} x^{2}$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x - a y + 1 = 0$ 垂直，则实数 $a =$ .

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14. 直三棱锥 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 为等腰直角三角形且斜边 $B C = 2$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点.若 $A A_{1} = \sqrt{2}$ ，则异面直线 $A_{1} B$ 与 $A D$ 所成的角为.

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15. 2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ （单位：十万只），若这组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 的方差为1.44，且 $x_{1}^{2}$ ， $x_{2}^{2}$ ， $x_{3}^{2}$ ， $x_{4}^{2}$ ， $x_{5}^{2}$ 的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩十万只.

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16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ，斜率为 $\frac{1}{3}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点.若以点 $E (1 ， 1)$ 为圆心的圆是 $△ O A B$ 的内切圆，则圆 $E$ 的半径为.

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三、解答题

17. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列， $a_{1} = b_{1} = 2$ ， $S_{2} + S_{3} = S_{4}$ ， $4 a_{3} + 6 a_{7} = b_{6}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n}}{\log_{2} b_{n}} + \frac{\log_{2} b_{n}}{a_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，平面 $A B C D \cap$ 平面 $A B E F = A B$ ，四边形 $A B C D$ 和 $A B E F$ 都是边长为2的正方形，点 $M$ ， $N$ 分别是 $A F$ ， $A B$ 的中点，二面角 $D - A B - F$ 的大小为60°.

(1)、求证： $M N //$ 平面 $B C F$ ；

(2)、求直线 $D E$ 与平面 $B C F$ 所成角的正弦值.

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19. 某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照

10 ： 1

的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：

男生身高频率分布表

男生身高

（单位：厘米）

$[160 ， 165)$

$[165 ， 170)$

$[170 ， 175)$

$[175 ， 180)$

$[180 ， 185)$

$[185 ， 190]$

频数

女生身高频数分布表

女生身高

（单位：厘米）

$[150 ， 155)$

$[155 ， 160)$

$[160 ， 165)$

$[165 ， 170)$

$[170 ， 175)$

$[175 ， 180]$

频数

(1)、估计这1000名学生中女生的人数；

(2)、估计这1000名学生中身高在

[170 ， 190]

的概率；

(3)、在样本中，从身高在

[170 ， 180]

的女生中任取3名女生进行调查，设

X

表示所选3名学生中身高在

[170 ， 175)

的人数，求

X

的分布列和数学期望.（身高单位：厘米）

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20. 已知 $O$ 是坐标原点，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{6}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $M$ 在椭圆上，若 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积最大时 $∠ F_{1} M F_{2} = 120 °$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l ： x = 2$ 与椭圆 $C$ 在第一象限交于点 $N$ ，点 $A$ 是第四象限的点且在椭圆 $C$ 上，线段 $A B$ 被直线 $l$ 垂直平分，直线 $N B$ 与椭圆交于另一点 $D$ ，求证： $O N // A D$ .

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} + \frac{1}{2} a x^{2}$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数 $g (x) = f (x) + x$ 的单调区间；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) + e^{x}$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ ，（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程与圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (1, 0)$ ，直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，设 $| P B | = λ | P A | (λ > 1)$ ，求实数 $λ$ .

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x + 1 | + | x - 2 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 6$ ；

(2)、设函数 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a b + a - b = m + 2$ ，求 $a + b$ 的最小值.

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