海南省2020届新高考数学高三线上诊断性测试试卷

试卷更新日期：2020-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 3 < x < 4}$ ， $B = {x | - 4 < x < 6}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${x | 4 < x < 6}$ B、 ${x | - 4 < x < - 3} \cup {x | 4 < x < 6}$ C、 ${x | 4 \leq x < 6}$ D、 ${x | - 4 < x \leq - 3} \cup {x | 4 \leq x < 6}$

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2. 若复数 $z$ 的虚部小于0， $| z | = \sqrt{5}$ ，且 $z + \bar{z} = 4$ ，则 $i z =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $2 + i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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3. “游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = x^{2} - m x + 5$ 在 $(2, + \infty)$ 上单调递增，则m的取值范围为（）

A、 $[4, + \infty)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 4]$ D、 $(- \infty, 2]$

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5. ${(2 x - \frac{1}{\sqrt[3]{4 x}})}^{6}$ 的展开式的中间项为（）

A、-40 B、 $- 40 x^{2}$ C、40 D、 $40 x^{2}$

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6. 现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{2}{9}$

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7. 如图，在等腰直角 $Δ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别为斜边 $B C$ 的三等分点（ $D$ 靠近点 $B$ ），过 $E$ 作 $A D$ 的垂线，垂足为 $F$ ，则 $\overset{⇀}{A F} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{5} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{2}{5} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{5} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{4}{15} \overset{⇀}{A B} + \frac{8}{15} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{8}{15} \overset{⇀}{A B} + \frac{4}{15} \overset{⇀}{A C}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 4 x + 1 ， x \leq 0 \\ 2 - 2^{- x} ， x > 0 ， \end{array}$ 若关于x的方程 $(f (x) - 1) (f (x) - m) = 0$ 恰有5个不同的实根，则m的取值范围为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， 5)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(2 ， 5)$

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二、多选题

9. 如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（）

A、1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了 $\frac{1}{3}$ B、1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势 C、2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例 D、2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率

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10. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x + \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为π B、曲线 $y = f (x)$ 关于 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ D、曲线 $y = f (x)$ 关于 $x = \frac{π}{6}$ 对称

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11. 已知P是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{6} + y^{2} = 1$ 上的动点，Q是圆 $D : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{5}$ 上的动点，则（）

A、C的焦距为 $\sqrt{5}$ B、C的离心率为 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ C、圆D在C的内部 D、 $| P Q |$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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12. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = \sqrt{2} A A_{1}$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，异面直 $A B_{1}$ 与 $C_{1} F$ 所成角的余弦值为 $m$ ，则（）

A、 $m = \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、直线 $A_{1} E$ 与直线 $C_{1} F$ 共面 C、 $m = \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、直线 $A_{1} E$ 与直线 $C_{1} F$ 异面

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三、填空题

13. 若 $\lg x + \lg y = 0$ ，则 $4 x + 9 y$ 的最小值为.

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14. 已知P为双曲线C： $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 右支上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为C的左、右焦点，且线段 $A_{1} A_{2}$ ， $B_{1} B_{2}$ 分别为C的实轴与虚轴.若 $| A_{1} A_{2} |$ ， $| B_{1} B_{2} |$ ， $| P F_{1} |$ 成等比数列，则 $| P F_{2} | =$ .

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15. 四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB ， AC ， AD两两垂直，且 $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $A D = 3$ ，则四面体ABCD的体积为，球O的表面积为

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16. 若曲线 $y = x e^{x} + \frac{m}{x + 1} (x < - 1)$ 存在两条垂直于y轴的切线，则m的取值范围为.

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17. 在① $\cos A = \frac{3}{5}$ ， $\cos C = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，② $c \sin C = \sin A + b \sin B$ ， $B = 60^{\circ}$ ，③ $c = 2$ ， $\cos A = \frac{1}{8}$ 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.
已知 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $a = 3$ ，__________，求 $△ A B C$ 的面积S.

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四、解答题

18. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E为AB的中点， $P D ⊥ C E ， A E = 1 ， P D = 3 ， P C = \sqrt{13}$

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面PCD．

(2)、求DA与平面PCE所成角的正弦值.

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19. 某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.

购买金额（元）	$[0, 15)$	$[15, 30)$	$[30, 45)$	$[45, 60)$	$[60, 75)$	$[75, 90]$
人数	10	15	20	15	20	10

附：参考公式和数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

附表：

$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879
$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005

(1)、根据以上数据完成

2 \times 2

列联表，并判断是否有

95 %

的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

	不少于60元	少于60元	合计
男		40
女	18
合计

(2)、为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为

p

（每次抽奖互不影响，且

p

的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数

X

（元）的分布列并求其数学期望.

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20. 在数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} - b_{n} - 3 n - 1$ ， $b_{n + 1} = 3 b_{n} - a_{n} + 3 n + 1$ .等差数列 ${c_{n}}$ 的前两项依次为 $a_{2}$ ， $b_{2}$ .

(1)、求 ${c_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${(a_{n} + b_{n}) c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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21. 如图，已知点F为抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M ， N两点，且当直线l的倾斜角为45°时， $| M N | = 16$ .

(1)、求抛物线C的方程.

(2)、试确定在x轴上是否存在点P ，使得直线PM ， PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \ln (x + 1) + \sin x + 1$ ，函数 $g (x) = a x - 1 - b \ln x$ （ $a ， b \in R ， a b \neq 0$ ）.

(1)、讨论 $g (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq 3 x + 1$ .

(3)、证明：当 $x > - 1$ 时， $f (x) < (x^{2} + 2 x + 2) e^{\sin x}$ .

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