海南省2020届高三数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 3, x \in N}, B = {x | x^{2} > 1}$ A，则集合 $A \cap B =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${- 2, 2}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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2. 命题“ $\forall x > 0, x (x + 1) > {(x - 1)}^{2}$ ”的否定为（）

A、 $\forall x > 0, x (x + 1) ⩽ {(x - 1)}^{2}$ B、 $\forall x ⩽ 0, x (x + 1) > {(x - 1)}^{2}$ C、 $\exists x > 0, x (x + 1) ⩽ {(x - 1)}^{2}$ D、 $\exists x ⩽ 0, x (x + 1) > {(x - 1)}^{2}$

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3. 设集合 $A$ 、 $B$ 是全集 $U$ 的两个子集，则“ $A \subseteq B$ ”是“ $A \cap ∁_{U} B = \emptyset$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 x$ ，当 $x = 0$ 时， $f (x)$ 取极大值1，则函数 $f (x)$ 的极小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{- x}, x ⩽ 0 \\ \sqrt{x + 4}, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (x_{0}) < 2$ ，则 $x_{0}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- 1, 0]$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0)$

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6. 已知 $p ： \exists x_{0} > 1 ， \log_{\frac{1}{2}} x_{0} > \frac{1}{2}$ ； $q ： \forall x \in R ， e^{x} > x$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $p$ 真 $q$ 真 B、 $p$ 假 $q$ 假 C、 $p$ 真 $q$ 假 D、 $p$ 假 $q$ 真

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7. 已知集合 $A = {x | - 1 < x ⩽ 2}, B = {x | 1 ⩽ - x ⩽ 5}$ ，定义集合 $A * B = {z | z = x + y, x \in A, y \in B}$ ，则 $B * (A * B)$ 等于（）

A、 ${x | - 6 < x ⩽ 1}$ B、 ${x | 1 < x ⩽ 12}$ C、 ${x | - 11 < x ⩽ 0}$ D、 ${x | - 5 < x ⩽ 6}$

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8. 函数 $y = \log_{2} x - \sqrt{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = a^{x} - a^{- x} + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若 $g (2) = a$ ，则函数 $f (x^{2} + 2 x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(- 1, + \infty)$

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10. 如图是二次函数 $f (x) = x^{2} - b x + a$ 的部分图象，则函数 $g (x) = a \ln x + f^{'} (x)$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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11. 对于任意 $x \in R$ ，函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = - f (x)$ ，且当 $x ⩾ 1$ 时，函数 $f (x) = \sqrt{x - 1}$ .若 $a = f (\frac{1}{2}), b = f (- \frac{1}{2}), c = f (- \frac{1}{3})$ ，则 $a, b, c$ 大小关系是（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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12. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 4 a x - \ln x$ ，则 $f (x)$ 在 $(1 ， 4)$ 上不单调的一个充分不必要条件可以是（）

A、 $a > - \frac{1}{2}$ B、 $0 < a < \frac{1}{16}$ C、 $a > \frac{1}{16}$ 或 $- \frac{1}{2} < a < 0$ D、 $a > \frac{1}{16}$

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二、填空题

13. 如图，直线 $l$ 是曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 3$ 处的切线，则 $f^{'} (3) =$ .

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14. 已知集合 $A = {x | | x | < 4, x \in Z}, B = {1, m}$ ，若 $A \cup B = A$ ，且 $3 - m \in A$ ，则实数 $m$ 所有的可能取值构成的集合是.

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15. 设函数 $f (x) = - 3 x^{2} + 6 x$ 在区间 $[a ， b]$ 上的值域是 $[- 9 ， 3]$ ，则 $b - a$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + 2$ ，若函数 $f (x)$ 只有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{\frac{2 x - 1}{x + 1} - 1}}$ ，集合 $B = {x | - 1 ⩽ x + a ⩽ 2}$ .

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知 $p ： \forall x \in R$ ， $m (4 x^{2} + 1) > x$ ； $q ： \exists x \in [2 ， 8]$ ， $m \log_{2} x + 1 ⩾ 0$ .

(1)、若 $p$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 与 $q$ 的真假性相同，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = 3 + \log_{2} x, x \in [1, 16]$ ，若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} + 2 f (x^{2})$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 的定义域；

(2)、求函数 $g (x)$ 的最值.

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20. 已知 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x + a^{2} (a > 1)$ 的图象在 $x = - 1$ 处的切线方程为 $y = 0$ .

(1)、求常数 $a ， b$ 的值；

(2)、若方程 $f (x) = c$ 在区间 $[- 4 ， 1]$ 上有两个不同的实根，求实数 $c$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = 2^{x}, g (x) = x^{2} + 2 a x$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $y = f (g (x)) (- 2 ⩽ x ⩽ 3)$ 的值域.

(2)、设函数 $h (x) = {\begin{array}{l} f (x), x ⩾ b \\ g (x), x < b \end{array}$ ，若 $a b > 0$ ，且 $h (x)$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $g (x) = e^{x} - (a - 1) x^{2} - b x - 1 (a ， b \in R)$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、若函数 $f (x) = g^{'} (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上是单调函数，试求 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上恰有3个零点，且 $g (1) = 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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