贵州省“阳光校园空中黔课”2020届高三下学期文数阶段性检测试卷

试卷更新日期：2020-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $z = - 3 - 2 i$ ，则在复平面内复数 $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》的学生有70位，只阅读过《红楼梦》的学生有20位，则既没阅读过《西游记》也没阅读过《红楼梦》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）

A、0.1 B、0.2 C、0.3 D、0.4

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 15$ ，则该数列前9项和 $S_{9} =$ （）

A、18 B、27 C、36 D、45

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4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中 $A$ 点表示十月的平均最高气温约为 $15 ℃$ ， $B$ 点表示四月的平均最低气温约为 $5 ℃$ ．下面叙述不正确的是（）

A、各月的平均最高气温都在 $5 ℃$ 以上 B、六月的平均温差比九月的平均温差大 C、七月和八月的平均最低气温基本相同 D、平均最低气温高于 $15 ℃$ 的月份有5个

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5. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为 $\sqrt{3}$ ， $D$ 为 $B C$ 中点，则三棱锥 $A - B_{1} D C_{1}$ 的体积为（）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、2

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6. 已知曲线 $C_{1} ： y = \sin x$ ， $C_{2} ： y = \cos (2 x - \frac{2 π}{3})$ ，则下面结论正确的是（）

A、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ ； B、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ ； C、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ ； D、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ ；

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7. 设椭圆 $C$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $C$ 上存在点 $P$ 满足 $| P F_{1} | : | F_{1} F_{2} | : | P F_{2} | = 4 : 3 : 2$ ，则椭圆 $C$ 的离心率等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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8. 设函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的一个周期为 $- 4 π$ B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 对称 C、 $f (x + π)$ 的一个零点为 $x = \frac{π}{6}$ D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 单调递减

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9. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前4项和为 $\frac{15}{8}$ ，且 $8 a_{5} = a_{1} - 2 a_{3}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的一条渐近线上， $O$ 为坐标原点，若 $| O F | = | P F |$ ，则 $△ P F O$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

11. 已知长方形 $A B C D$ 中 $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $M$ 为 $C D$ 的中点，则 $\vec{A M} \cdot \vec{B D} =$ .

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12. 设 $α$ 为第二象限角，若 $\tan (α - \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $\sin 2 α =$ .

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13. 如图所示，在山脚 $A$ 测得山顶 $P$ 的仰角为 $∠ Q A P = 45^{\circ}$ ，沿倾斜角为 $∠ Q A B = 15^{\circ}$ 的斜坡向上走146.4米到达 $B$ ，在 $B$ 测得山顶 $P$ 的仰角为 $∠ C B P = 60^{\circ}$ ，则山高 $P Q =$ 米．（ $\sqrt{2} = 1.414$ ， $\sqrt{3} = 1.732$ ，结果保留小数点后1位）

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14. 如图所示的茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n}^{2} = 2 a_{n} S_{n} - 1$ ，则 $a_{2020} =$ ．

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三、解答题

16. 已知角 $α$ 的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边经过单位圆上一点 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ .

(1)、求 $\sin (α + π)$ 的值；

(2)、若角 $β$ 满足 $c o s (α + β) = \frac{5}{13}$ ，求 $\cos β$ 的值．

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17. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{3} = 5$ ， $S_{4} = 16$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{(2 n + 1) a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a \sin (A + C) = b \sin 2 A$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求边 $a$ 的最小值．

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19. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \cos θ \\ y = \sqrt{3} \sin θ \end{array}$ ，（ $θ$ 为参数），以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ - \frac{π}{4}) = 3 \sqrt{2}$ .

(1)、写出 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $P$ 在 $C_{1}$ 上，点 $Q$ 在 $C_{2}$ 上，求 $| P Q |$ 的最小值及此时 $P$ 的直角坐标.

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20. 某市食品药品监督管理局开展2020年春季快递餐饮安全检查，对本市的8个快递配餐点进行了原料采购加工标准和卫生标准的检查和评分，其评分情况如表所示：

快递配餐点编号	1	2	3	4	5	6	7	8
原料采购加工标准评分 $x$	82	75	70	66	83	93	95	100
卫生标准评分 $y$	81	79	77	75	82	83	84	87

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；参考数据： $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 54112$ ， $\sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2} = 56168$ ．

(1)、已知

x

与

y

之间具有线性相关关系，求

y

关于

x

的线性回归方程；（精确到0.1）

(2)、现从8个被检查点中任意抽取两个组成一组，若两个点的原料采购加工标准和卫生标准的评分均超过80分，则组成“快递标兵配餐点”，求该组被评为“快递标兵配餐点”的概率．

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